Muito Obrigado!!! Me empolguei tanto com sua resolução que no final quase apluadi de pé, nao o fiz pois quem mora comigo iria duvidar da minha sanidade.
Em sex, 29 de jan de 2021 20:11, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Ponha a = raiz(2). > Então, vc precisa provar que, para n >= 2, a^(2n) > 1 + n*a^(n-1) <==> a^n > > 1/a^n + n/a. > Pra n = 2 isso é verdade. > Suponha que, para um dado n >= 2, 1/a^n + n/a < a^n (H.I.) > Então 1/a^(n+1) + (n+1)/a < 1/a^n + 1/a + n/a = 1/a + (1/a^n + n/a) < > 1/a + a^n (pela H.I.) > > Agora, resta provar que 1/a + a^n < a^(n+1), para n >= 2. > Mas isso é equivalente a 1 + a^(n+1) < a*a^(n+1) <==> (a-1)*a^(n+1) > 1. > Só que: > (a-1)*a^(n+1) >= (a-1)*a^3 = a^4 - a^3 = 4 - 2*raiz(2) > 1, pois raiz(2) > < 3/2. > > []s, > Claudio. > > On Fri, Jan 29, 2021 at 3:56 PM Phablo dos Santos < > [email protected]> wrote: > >> Mostre que 2ⁿ > 1 + n√(2ⁿ⁻¹), para todo n≥2. >> >> Eu sei a prova desse problema partindo do caminho da indução, porém estou >> tendo problemas tentando prová-lo pelo caminho da hipótese e gostaria da >> ajuda de vcs nele. Vou postar aqui até onde cheguei com minha solução: >> >> Caso inicial n=2: 2² > 1+2√2 >> Hip: n, n>2 : 2ⁿ > 1+n√(2ⁿ⁻¹) >> Ind: n+1, n>2 : 2ⁿ⁺¹ > 1+(n+1)√(2ⁿ) >> Pela hipótese:. 2ⁿ*2 > (1+n√(2ⁿ⁻¹))*2 >> ∴ 2ⁿ⁺¹ > 2 + 2n√(2ⁿ⁻¹)=2+(√2)n√(2ⁿ) > 1+n√(2ⁿ). >> A partir daí eu n consigo mais desenvolver. Desde já agradeço pela ajuda >> >>
