Em sáb., 15 de ago. de 2020 às 17:57, marcone augusto araújo borges <[email protected]> escreveu: > > Determinar todos os pares ordenados (x,y) de número racionais que são as > soluções da equação x^2019 + y^2019 = x^2020 + y^2020 > Desde já agradeço.
Hum, estou achando isso meio confuso. Se x e y forem iguais, temos 2x^2019=2x^2020, x=1 ou x=0. Vamos então supor x e y diferentes. Podemos pegar estas duas frações como (m/d)^2019 + (n/d)^2019 = (m/d)^2020 + (n/d)^2020 em que d é o menor valor possível. Assim, multiplica tudo por d^2020, temos d*(m^2019 + n^2019) = (m^2020 + n^2020). Em outras palavras, queremos encontrar todos os ternos (m,n,d) de inteiros tais que (m^2020 + n^2020)/(m^2019 + n^2019)=d é inteiro. Para isso, vamos tentar procurar os primos p tais que p é divisor de (m^2019 + n^2019) e também é divisor de (m^2020 + n^2020). Podemos supor que este primo p exista, dado que m e n são pelo menos 1, logo (m^2019 + n^2019) é pelo menos 2, logo é fatorável. Note que se m e n forem múltiplos de p, escrevendo m=pm' e n=dn', obtemos d=p * (m'^2020 + n'^2020)/(m'^2019 + n'^2019). Assim sendo, d também será múltiplo de p. Assim, obtemos uma nova solução (m',n,d') Assim, podemos de cara excluir os casos em que m e n são múltiplos de um mesmo primo p. Enfim. Se p é divisor de p é divisor de (m^2019 + n^2019) e também é divisor de (m^2020 + n^2020), então também é divisor de (m+n)(m^2019 + n^2019)-(m^2020 + n^2020) = m*n^2019+n*m^2019=mn(m^2018+n^2018). Temos então três hipóteses, que não são necessariamente mutuamente exclusivas: p é divisor de m p é divisor de n p é divisor de (m^2018+n^2018) Se p é divisor de m, então também é divisor de n, e vice-versa, dado que p é divisor da soma dos dois. Assim sendo, podemos de cara eliminar os dois primeiros casos. Logo, p é divisor de (m^2018+n^2018). Acredito que, repetindo esse raciocínio mais umas 2018 vezes, chegamos em que p deve ser divisor de m+n e de m^2+n^2. Ou, novamente, de (m+n)(m+n)-(m^2+n^2)=2mn Logo, p é divisor de 2. Ou seja, p é igual a 2. Ou seja, o único primo possível nisto tudo é 2. Ou seja, (m^2+n^2)=2^k*(m+n), com m e n ambos ímpares e primos entre si. Assim, podemos escrever m=a+b e n=a-b para inteiros a e b. Assim, (m^2+n^2)/(m+n)=((a+b)^2+(a-b)^2)/(a+b+a-b) = 2(a^2+b^2)/(2a)=a+b^2/a, o que implica que a é divisor de b^2. Mas a e b são primos entre si, pois se tivessem fatores em comum, estes fatores apareceriam em m e n. Logo, a=1. Mas a é maior que b, pois m=a-b é maior que 0. Logo, a=1 e b=0. Assim sendo, m=n, e sendo primos entre si, daria m=n=1. É isso mesmo? Só tem x=y=0 e x=y=1 como soluções? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
