Argh: tem um errinho de digitação... Era p=7b *MENOS* 3... Mas o resto continua valendo, achei p=25/43 e b=22/43... que condiz com minha intuição de que, partindo de um número par (que não se repetiu), tenho uma pequena vantagem (b=22/43 é ligeiramente maior que 1/2).
On Sat, Jul 25, 2020 at 3:37 PM Ralph Costa Teixeira <[email protected]> wrote: > Oi, Vanderlei. > > Para facilitar a notação, eu serei Zé Roberto. :D > > Intuitivamente: como você desconfiou, p não pode ser isso tudo. Para eu > ganhar, tenho que rolar um 6, **ou** rolar outra coisa e "praticamente" > começar o jogo de novo. Isto daria a estimativa: > p = 1/6 + 5/6 . 1/2 = 7/12 > Mas esta estimativa está errada pois, o jogo "recomeçaria" a partir de 1, > 2, 3, 4 ou 5, dando uma pequena vantagem para Umberto! Ou seja, sem fazer > muita conta afirmo que: > p = 1/6 + 5/6 . Prob(Eu ganhar a partir de um 1,2,3,4,5 simples) < 1/6 + > 5/12 = 7/12. > > ---///--- > Se entendi o que você pensou: para Umberto ganhar, temos que NÃO ROLAR 6 > agora (prob=5/6), **e** depois "começar o jogo do zero" (prob=3/6). Então > Umberto ganharia com probabilidade q=5/6.3/6=5/12 (acho que você devia usar > 5/6; e não entendi o p extra). Era isso? Mas mesmo assim não funciona, pelo > mesmo motivo da minha estimativa do p estar furada: não rolando 6, o jogo > não "começaria do zero"; Umberto teria uma pequena vantagem (pois rolamos > 1, 3 ou 5 com mais chance do que 2 ou 4). Em suma, o que conseguimos > concluir daqui eh que q > 5/12, ou seja p<7/12, que nem acima! > > ---///--- > Vamos calcular p, definido como" > p = probabilidade de eu vencer sendo que os dois últimos números foram > iguais e pares > E vamos inventar: > b = probabilidade de eu vencer sendo que o último número foi par, mas o > penúltimo foi diferente do último. > Agora, na situação do problema (terminando em x-6-6, com x<>6), a partir > daqui temos duas possibilidades: > -- Se o próximo número for 6 (prob = 1/6), ganhei. > -- Se o próximo número for 2 ou 4 (prob = 2/6), passamos para uma nova > situação onde eu tenho probabilidade b de vencer. > -- Se o próximo número for 1, 3 ou 5 (prob=3/6), passamos para uma nova > situação onde eu tenho probabilidade 1-b de vencer. > > Assim, p = 1/6 + (2/6)b + (3/6)(1-b) = 2/3 - b/6. > > Por outro lado, a partir de uma situação do tipo "b" -- (digamos, para > fixar ideias, sequência terminando em ....-2-4), temos as seguintes > possibilidades: > -- Se o próximo número for 4 (prob = 1/6), passo a ter probabilidade p de > ganhar; > -- Se for 2 ou 6 (prob = 2/6), passo a ter probabilidade b de ganhar. > -- Se for 1, 3 ou 5 (prob = 3/6), passo a ter probabilidade 1-b de ganhar. > > Assim, b = (1/6)p + 2/6b + 3/6(1-b), ou seja, p=7b+3. > > Juntando as duas coisas, achei p=25/43.... Hein, sério?? > > ---///--- > Vamos resolver de outro jeito mais "adulto", para ver o PODER DAS > MATRIZES... :D :D: > > Depois de alguns lançamentos, o jogo tem 6 estados possíveis dependendo > apenas dos 3 últimos lançamentos: > > E1: ...y-y-y com y par (eu ganhei! pare o jogo!) > E2: ...x-y-y com x<>y e y par (estou quase ganhando!) > E3: ...x-y com x<>y e y par (tenho pequena vantagem) > E4: ...x-y com x<>y e y ímpar (tenho pequena desvantagem) > E5: ...x-y-y com x<>y e y í mpar (estou quase perdendo!) > E6: ...y-y-y com y ímpar (perdi! vire a mesa!) > > A matriz M de transição entre esses estados: > > 1 1/6 0 0 0 0 > 0 0 1/6 0 0 0 > 0 2/6 2/6 3/6 3/6 0 > 0 3/6 3/6 2/6 2/6 0 > 0 0 0 1/6 0 0 > 0 0 0 0 1/6 1 > > Pois bem, M^k.v (onde v=e_2=[0; 1; 0; 0; 0; 0]) seria a distribuição de > probabilidade dos estados, começando de e_2 (situação do problema), daqui a > k jogadas. Ou seja, a gente quer determinar p onde lim(k->Inf) M^k.v = [p; > 0; 0; 0; 0; 1-p]. > > Diagonalizei M usando o computador (que não liga para a elegância das > simetrias.... :( ), deu M = PDP^(-1) onde > > P=[1 1 1 1 1 0 > 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) -(1/2)i√3-((13)/2) (1/2)i√3-((13)/2) 0 > 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 (7/2)i√3+(5/2) (5/2)-(7/2)i√3 0 > 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 -(7/2)i√3-(5/2) (7/2)i√3-(5/2) 0 > 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) (1/2)i√3+((13)/2) ((13)/2)-(1/2)i√3 0 > -1 1 1 -1 -1 1] > > D = diag(1; 5/12- √5 /4; 5/12 +√5 /4; (-i√3-1)/12; (i√3-1)/12; 1] > > Q=P^(-1)= [1 ((25)/(43)) ((22)/(43)) ((21)/(43)) ((18)/(43)) 0 > 0 (1/(12))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (1/(12))√5-(1/4) 0 > 0 -(1/(12))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(1/(12))√5-(1/4) 0 > 0 -(5/(516))i√3-(7/(172)) -((13)/(516))i√3-(1/(172)) > ((13)/(516))i√3+(1/(172)) (5/(516))i√3+(7/(172)) 0 > 0 (5/(516))i√3-(7/(172)) ((13)/(516))i√3-(1/(172)) > (1/(172))-((13)/(516))i√3 (7/(172))-(5/(516))i√3 0 > 1 1 1 1 1 1] > > Mas não olhe para tudo isso! Veja bem, M^k.v = P D^k P^(-1) e_2 = P D^k > Q_2, onde Q_2 eh a segunda coluna de Q. Mas D^k vai para diag(1, 0, 0, 0, > 0, 1) quando k->Inf, portanto ligamos apenas para Q(1,2)=25/43 e Q(1,6)=1. > Queremos apenas a primeira coordenada de P . [25/43; 0; 0; 0; 0; 1], ou > seja, p = 25/43 P(1,1) + 1 P(6,1) = 25/43. > > Ou seja: sério!! :D > > Abraco, Ralph. > > > On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < > [email protected]> wrote: > >> Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: >> Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o >> jogo "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. >> Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: >> q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q >> Assim, p = 12/13 e q = 1/13 >> >> Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? >> >> Muito obrigado! >> >> >> >> >> >> >> Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Eu achei 5/7. >>> >>> On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < >>> [email protected]> wrote: >>> >>>> Bom dia! >>>> O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, >>>> muito boas!!! >>>> Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. >>>> Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? >>>> Muito obrigado! >>>> >>>> Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre >>>> pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas >>>> maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, >>>> com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que >>>> um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for >>>> par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: >>>> 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé >>>> Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: >>>> 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de >>>> um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar >>>> do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o >>>> vencedor? >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
