Boa noite!
1) a_n = [n(n+1)]/2 mod 10
Fácilmente se vê que 20 é múltiplo do período minímo pois:
a_19= 0 e a_20=0 logo a_21= a_20+21mod10 =0+1=1=a1.
a_22=a_1+22 mod10 = 3=a_3 É assim sucessivamente.
Então o período é um divisor de 20
p<>1, pois, a_1<>a_2
p<>2, pois, a_1<>a_3
p<>4, pois a_1<>a_5
p<>5, pois a_1<> a_6
p<>10 pois a_1<>a_11
logo p = 20.
Não vem outra forma se calcular a_1 até a_20
a_1=1 e S_1=1
a_2=3 e S_2=4
a_3=6 e S_3=10
a_4=0 e S_4=10
a_5=5 e S_5=15
a_6=1 e S_6= 16
a_7=8 e S_7=24
a_8=6 e S_8=30
a_9=5 e S_9=35
a_10=5 e S_10=40
a_11=6 e S_11=46
a_12=8 e S_12=54
a_13=1 e S_13=55
a_14=5 e S_14=60
a_15=0 e S_15=60
a_16=6 e S_16= 66
a_17=3 e S_17=69
a_18=1 e S_18=70
a_19=0 e S_19=70
a_20=0 e S_20=70
É fácil ver que a cada 20 números a mais a soma dará 70 de novo., 1992 =
20 x 99 +12; logo S_1992 =99 S_×0+S_12=6984.
2) seja n formado por ABCD, vamos representar a ideia número pela letra
minúscula a, b, c, d e U={a, b, c, d} max(U)=9 e min(U)=0.
a<=2 e a ímpar pois R(n)=DCBA é ímpar.
Então a=1
4n+3= 4x(a*10^3+b*10^2+c*10+d)+3=
=4d+3 mod10 4d+3=a mod10 ==> d=2 ou d=7, mas d>=4 pois 4n+3= d*10^3 +
c*10^2 + b*10 + a > 4 *10^3. Logo d=7
Logo b=7 ou b=9
pois 4*b +3>30 É b é ímpar pois
DCBA é côngruo 3 mod4
Seja b=7
n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
portanto não há c que atenda.
Seja b=9
n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e
Em dom, 26 de abr de 2020 22:56, Julio Mohnsam <[email protected]>
escreveu:
> se n=2019
>
> ------------------------------
> *De:* [email protected] <[email protected]> em nome de
> Rogério Possi Júnior <[email protected]>
> *Enviado:* domingo, 26 de abril de 2020 18:21
> *Para:* Lista de Olímpiada OBM <[email protected]>
> *Assunto:* [obm-l] Dois problemas
>
> Boa noite.
>
> Quem pode ajudar com esses dois problemas:
>
> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de
> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n.
>
> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e
> R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N;
> por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais
> R(N)=4N+3.
>
> Sds,
>
> Rogério
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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