OuMuito obrigado, Cláudio e demais colegas!
Eu pensava que usava "apenas" fatos mais simples. Vi a indicação do artigo
e vou ler, mas queria saber se vocês indicam algum livro ou material para
estudar essas coisas mais "sofisticadas".
Imagino que na seguinte questão também seja necessário usar autovalores.
Muito obrigado!
Considere a matriz
A = 0 1 2
0 0 1
0 0 0
Para quantos números naturais n existe uma matriz X tal que X^n = A?
a) 1
b) 2
c) 3
d) infinitos
Em ter, 19 de fev de 2019 15:23, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
[email protected] escreveu:
> On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara
> <[email protected]> wrote:
> >
> > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores,
> que podem não ser reais e nem todos distintos.
>
> Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho
> importante ressaltar. A definição de autovalores que dá n autovalores
> para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n
> autovetores associados (que são ditos "geométricos"). Isso acontece
> com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos
> de Jordan (como o artigo mostra). O importante (que vem justamente de
> Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto
> podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X
> correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que
> Re(k) = 1/2. Daí você volta para a álgebra, e vê que as
> multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais.
> (Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades
> geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste
> caso não precisa)
>
> > Dá uma olhada nesse artigo aqui:
> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf
>
> Muito bom!! Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear. Uma coisa,
> entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico
> "há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não
> apenas autovetores generalizados). Não é difícil com tudo o que já
> tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1
> implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T.
>
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo <[email protected]>
> wrote:
> >>
> >> Oi, Claudio
> >>
> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
> >>
> >> Atenciosamente,
> >> Rodrigo de Castro Ângelo
> >>
> >>
> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
> [email protected]> escreveu:
> >>>
> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de
> M (se M for real, M* = transposta de M).
> >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
> >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
> >>>
> >>> Seja k um autovalor de A.
> >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A*
> = k*X*
> >>> X*AX = X*(kX) = kX*X
> >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
> >>>
> >>> Somando estas duas equações, obtemos:
> >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
> >>>
> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
> >>>
> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
> >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais
> ==>
> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
> 1/4 + b^2 > 0 ==>
> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
> >>>
> >>> []s,
> >>> Claudio.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <
> [email protected]> wrote:
> >>>>
> >>>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns
> resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
> >>>>
> >>>> Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.
> >>>> Prove que detA > 0.
> >>>>
> >>>> A^t é a transposta de A.
> >>>>
> >>>> Muito obrigado!
> >>>>
> >>>> Vanderlei
>
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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