On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara <[email protected]> wrote: > > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores, que > podem não ser reais e nem todos distintos.
Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho importante ressaltar. A definição de autovalores que dá n autovalores para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n autovetores associados (que são ditos "geométricos"). Isso acontece com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos de Jordan (como o artigo mostra). O importante (que vem justamente de Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que Re(k) = 1/2. Daí você volta para a álgebra, e vê que as multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais. (Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste caso não precisa) > Dá uma olhada nesse artigo aqui: > https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf Muito bom!! Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear. Uma coisa, entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico "há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não apenas autovetores generalizados). Não é difícil com tudo o que já tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1 implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T. > []s, > Claudio. > > > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo <[email protected]> wrote: >> >> Oi, Claudio >> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k? >> >> Atenciosamente, >> Rodrigo de Castro Ângelo >> >> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara >> <[email protected]> escreveu: >>> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M >>> (se M for real, M* = transposta de M). >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z. >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1. >>> >>> Seja k um autovalor de A. >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* = >>> k*X* >>> X*AX = X*(kX) = kX*X >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X >>> >>> Somando estas duas equações, obtemos: >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0. >>> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2. >>> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2. >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser >>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é >>> 1/4 + b^2 > 0 ==> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <[email protected]> >>> wrote: >>>> >>>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados, >>>> mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver? >>>> >>>> Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I. >>>> Prove que detA > 0. >>>> >>>> A^t é a transposta de A. >>>> >>>> Muito obrigado! >>>> >>>> Vanderlei -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
