Eu me interesso mais em saber como estes resultados são descobertos. Ou pelo menos, como poderiam, a princípio, ser descobertos por alguém com conhecimentos básicos de matemática escolar (por exemplo, PAs, PGs e equações do 2o grau) e alguma iniciativa.
Por exemplo, PA s e PGs (talvez os exemplos mais conhecidos de sequências), podem servir como ponto de partida pra esta investigação. Definida recursivamente, uma PA é A(n) = A(n-1) + d, onde d é um número fixo, e o termo geral é A(n) = A(0) + n*d. Já uma PG é G(n) = G(n-1)*q, onde q é um número fixo, e o termo geral é G(n) = G(0)*q^n. Daí, diante de uma recorrência do tipo F(n) = F(n-1) + F(n-2), me parece que seria razoável (???), para alguém que só conhecesse PAs e PGs, testar uma solução da forma F(n) = a + bn ou então uma da forma F(n) = a*b^n, onde a e b são números reais fixos. A primeira alternativa, leva a: a + n*b = a + (n-1)*b + a + (n-2)*b ==> a = (n-3)*b ==> não serve, já que a e b são fixos mas n é variável, a menos que b = 0, o que leva a a = 0 e a F(n) = 0. A segunda leva a: a*b^n = a*b^(n-1) + a*b^(n-2) ==> (dividindo tudo por a*b^(n-2) ) b^2 = b + 1, que é justamente a equação característica da sequência de Fibonacci. Esta equação do 2o grau tem duas raízes distintas p e q ( = (1+/-raiz(5))/2) ). Daí, também me parece razoável (???) tentar uma solução da forma F(n) = a*p^n + b*q^n (combinação linear de duas PGs). Com as condições iniciais F(0) = 0 e F(1) = 1, caímos num sistema 2x2, determinamos a e b e obtemos a fórmula de F(n) em função de n. Outro caminho é operar com a definição recursiva. Aí entra outra ideia: tentar achar uma sequência telescópica. (quão natural ou obvia é essa ideia?) Por exemplo, escrevendo F(n-2) = F(n) - F(n-1), e somando ambos os membros de n = 2 até p, obtemos: F(0) + F(1) + ... + F(p-3) + F(p-2) = F(2) - F(1) + F(3) - F(2) + ... + F(p-1) - F(p-2) + F(p) - F(p-1). A soma do lado direito é telescópica e igual a F(p) - F(1). Logo, mudando de variável e notando que F(0) = 0 e F(1) = 1, obtemos a propriedade F(1) + F(2) + ... + F(n) = F(n+2) - 1. Outra propriedade da sequência de Fibonacci é que a razão de termos consecutivos se aproxima cada vez mais de p = (1+raiz(5))/2 ~ 1.618033989... = a famosa razão áurea, Por exemplo, F(11)/F(10) = 89/55 = 1,6181818... Mas realmente não sei quão razoável seria alguém olhar pra razão de termos consecutivos. Talvez pelo fato da sequência ser uma combinação linear de duas PGs (e a razão de dois termos consecutivos de uma PG é constante, por definição). Enfim, como p > 1, q = -1/p está entre -1 e 0, e daí vemos que: F(n+1)/F(n) = (a*p^(n+1) + b*q^(n+1))/(a*p^n + b*q^n) = (p + (bq/a)*(q/p)^n)/(1 + (b/a)*(q/p)^n) -> p quando n -> infinito. O fato de q estar entre 0 e 1 mostra que o termo b*q^n, na fórmula de F(n), tende a zero, de modo que pra n suficientemente grande F(n) ~ a*p^n (ou seja, F(n) se aproxima de uma PG). De fato, F(n) = inteiro mais próximo de a*p^n, o que implica, mais uma vez, que F(n+1)/F(n) -> q. A propriedade descrita no problema original é mais sutil e talvez tenha sido descoberta ao se analisar quão boa é a aproximação de "p" pelas frações F(n+1)/F(n). A sequência é: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, ... Como essa sequência converge (para p), a diferença entre termos consecutivos deve tender a zero. Essa diferença é F(n+2)/F(n+1) - F(n+1)/F(n) = (F(n+2)*F(n) - F(n+1)^2/(F(n)*F(n+1)) Analisando numericamente (possivelmente com uma planilha), observamos que: 2/1 - 1/1 = 1 3/2 - 2/1 = -1/2 5/3 - 3/2 = 1/6 8/5 - 5/3 = -1/15 13/8 - 8/5 = 1/40 21/13 - 13/8 = -1/104 Daí, não é difícil fazer uma conjectura sobre os numeradores: F(n+2)*F(n) - F(n+1)^2 = (-1)^(n+1) Ou, se você preferir: F(n+1)*F(n-1) - F(n)^2 = (-1)^n (*) Isso é provado facilmente por indução (e essa talvez seja um dos principais usos da indução: demonstrar fórmulas que são conjecturadas a partir da observação de casos particulares). E quanto à diferença F(n+2)/F(n+1) - F(n)/F(n-1) ? Empiricamente, obtemos: 3/2 - 1/1 = 1/2 5/3 - 2/1 = -1/3 8/5 - 3/2 = 1/10 13/8 - 5/3 = -1/24 21/13 - 8/5 = 1/65 34/21 - 13/8 = -1/168 E chegamos à conjectura F(n+2)*F(n-1) - F(n+1)*F(n) = (-1)^n, igualmente demonstrada por indução. Tentemos agora ver quanto é F(n+3)*F(n-1) - F(n+2)*F(n). Ao invés de ir pela via empírica, podemos usar a definição recursiva da sequência de Fibonacci e obter: F(n+3)*F(n-1) - F(n+2)*F(n) = (F(n+2) + F(n+1))*F(n-1) - ((F(n+1) + F(n))*F(n) = F(n+2)*F(n-1) + F(n+1)*F(n-1) - F(n+1)*F(n) - F(n)^2 = (F(n+1)*F(n-1) - F(n)^2) + (F(n+2)*F(n-1) - F(n+1)*F(n)) = (-1)^n + (-1)^n = 2*(-1)^n Prosseguindo... F(n+4)*F(n-1) - F(n+3)*F(n) = (F(n+3) + F(n+2))*F(n-1) - ((F(n+2) + F(n+1))*F(n) = F(n+3)*F(n-1) + F(n+2)*F(n-1) - F(n+2)*F(n) - F(n+1)*F(n) = (F(n+3)*F(n-1) - F(n+2)*F(n)) + (F(n+2)*F(n-1) - F(n+1)*F(n)) = 2*(-1)^n + (-1)^n = 3*(-1)^n E assim por diante... Formulamos então a conjectura: F(n+k)*F(n-1) - F(n+k-1)*F(n) = (-1)^n*F(k), que é demonstrada por indução (sobre n: k é fixo) Pondo k = n, chegamos à identidade original: F(2n)*F(n-1) - F(2n-1)*F(n) = (-1)^n*F(n). []s, Claudio. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
