Bom dia! Cláudio, só não compreendi porque você afirma que CD tem o comprimento fixo.
Saudações, PJMS Em qua, 28 de nov de 2018 às 20:38, Claudio Buffara < [email protected]> escreveu: > *Dentre todos os segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o > triângulo PCD de maior área é justamente aquele que é paralelo ao diâmetro > AB.* > > Suponhamos que a altura de PAB em relação a AB seja h e a altura de PCB em > relação a CD seja k. > Assim, área(PCD) = (1/2)*CD*k. > Como CD tem comprimento fixo, área(PCD) será máxima quando k for máximo. > Os triângulos PAB e PCD são semelhantes (ângulos inscritos, etc...) ==> > h/AB = k/CD ==> k = (CD/AB)*h > Mas AB também é fixo (= diâmetro), de modo que k é um múltiplo fixo de h > ==> área(PCD) será máxima quando h for máximo. > > Seja Q o pé da altura de PAB em relação a AB ==> PQ = h. > AQ = h*ctg(PAB) = h*ctg(A) > QB = h*ctg(PBA) = h*ctg(B) ==> AB = AQ + QB = h*(ctg(A) + ctg(B)) ==> h = > AB/(ctg(A) + ctg(B)). > Logo, h será máximo quando ctg(A) + ctg(B) for mínimo. > > Quando a corda CD (de comprimento constante) se desloca, CAB + DBA = A + B > permanece constante (digamos, igual a M). > ctg(A) + ctg(B) = cos(A)/sen(A) + cos(B)/sen(B) = (cos(A)sen(B) + > cos(B)sen(A))/(sen(A)sen(B)) = sen(A+B)/(sen(A)sen(B)) = > sen(M)/(sen(A)sen(B) > > Logo, ctg(A) + ctg(B) será mínimo quando sen(A)sen(B) for máximo. > sen(A)sen(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2 = (1/2)*cos(A-B) + (1/2)*cos(M) > será máximo quando cos(A-B) = 1, ou seja, quando A = B. > Finalmente, A = B <==> CD é paralelo a AB. > > []s, > Claudio. > > > > > > > On Wed, Nov 28, 2018 at 3:57 PM Claudio Buffara <[email protected]> > wrote: > >> Eu só tratei do caso em que CD é paralelo a AB. >> Chame a medida do ângulo PAB (= PCB) de t (de modo que QCO mede 2t, onde >> O = ponto médio de AB = centro do círculo). >> Então, se não errei na álgebra ou na trigonometria, a área de PDC é igual >> a: >> Area(t) = r^2*(sen(t) - 2*sen^3(t)), onde t varia entre 0 e pi/4. >> Derivando Area(t) em relação a t e igualando a zero, achei sen(t) = >> 1/raiz(6). >> Substituindo este valor de t, achei que Area(1/raiz(6)) = r^2*raiz(6)/9. >> >> O que eu não provei, mas que parece ser verdade, é que, dentre todos os >> segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o triângulo PCD de maior >> área é justamente aquele que é paralelo ao diâmetro AB. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Tue, Nov 27, 2018 at 5:42 PM matematica10complicada < >> [email protected]> wrote: >> >>> Opa Claudio, obrigado pela sua analise, vou te passar a questão e ai de >>> repente podemos chegar a uma conclusão melhor. >>> >>> PROBLEMA: >>> >>> Num semicírculo de raio "r" e diametro AB, inscreve-se um quadrilátero >>> ABCD, sendo P o ponto de encontro das diagonais AC e BD, determine a area >>> máxima do triangulo CPD. >>> >>> Valeu pela ajuda. >>> >>> O.Douglas >>> >>> Em ter, 27 de nov de 2018 14:02, Claudio Buffara < >>> [email protected] escreveu: >>> >>>> Não existe, pois quando x e y tendem a Pi/2 pela esquerda, >>>> sen(x)sen(y) tende a sen^2(Pi/2) = 1 >>>> e >>>> x+y tende a Pi pela esquerda ==> tan^2(x+y) tende a zero pela direita. >>>> Logo, o quociente tende a +infinito. >>>> >>>> On Tue, Nov 27, 2018 at 12:27 AM matematica10complicada < >>>> [email protected]> wrote: >>>> >>>>> Ola meus caros! >>>>> >>>>> Preciso de uma ajuda no seguinte problema: >>>>> >>>>> Encontrar o valor maximo de >>>>> >>>>> [Sen(x).sen(y)]\[tg(x+y)]^2 , onde x e y sao agudos. >>>>> >>>>> Obrigado desde já. >>>>> >>>>> Douglas Oliveira. >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
