*Dentre todos os segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o triângulo PCD de maior área é justamente aquele que é paralelo ao diâmetro AB.*
Suponhamos que a altura de PAB em relação a AB seja h e a altura de PCB em relação a CD seja k. Assim, área(PCD) = (1/2)*CD*k. Como CD tem comprimento fixo, área(PCD) será máxima quando k for máximo. Os triângulos PAB e PCD são semelhantes (ângulos inscritos, etc...) ==> h/AB = k/CD ==> k = (CD/AB)*h Mas AB também é fixo (= diâmetro), de modo que k é um múltiplo fixo de h ==> área(PCD) será máxima quando h for máximo. Seja Q o pé da altura de PAB em relação a AB ==> PQ = h. AQ = h*ctg(PAB) = h*ctg(A) QB = h*ctg(PBA) = h*ctg(B) ==> AB = AQ + QB = h*(ctg(A) + ctg(B)) ==> h = AB/(ctg(A) + ctg(B)). Logo, h será máximo quando ctg(A) + ctg(B) for mínimo. Quando a corda CD (de comprimento constante) se desloca, CAB + DBA = A + B permanece constante (digamos, igual a M). ctg(A) + ctg(B) = cos(A)/sen(A) + cos(B)/sen(B) = (cos(A)sen(B) + cos(B)sen(A))/(sen(A)sen(B)) = sen(A+B)/(sen(A)sen(B)) = sen(M)/(sen(A)sen(B) Logo, ctg(A) + ctg(B) será mínimo quando sen(A)sen(B) for máximo. sen(A)sen(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2 = (1/2)*cos(A-B) + (1/2)*cos(M) será máximo quando cos(A-B) = 1, ou seja, quando A = B. Finalmente, A = B <==> CD é paralelo a AB. []s, Claudio. On Wed, Nov 28, 2018 at 3:57 PM Claudio Buffara <[email protected]> wrote: > Eu só tratei do caso em que CD é paralelo a AB. > Chame a medida do ângulo PAB (= PCB) de t (de modo que QCO mede 2t, onde O > = ponto médio de AB = centro do círculo). > Então, se não errei na álgebra ou na trigonometria, a área de PDC é igual > a: > Area(t) = r^2*(sen(t) - 2*sen^3(t)), onde t varia entre 0 e pi/4. > Derivando Area(t) em relação a t e igualando a zero, achei sen(t) = > 1/raiz(6). > Substituindo este valor de t, achei que Area(1/raiz(6)) = r^2*raiz(6)/9. > > O que eu não provei, mas que parece ser verdade, é que, dentre todos os > segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o triângulo PCD de maior > área é justamente aquele que é paralelo ao diâmetro AB. > > []s, > Claudio. > > > > On Tue, Nov 27, 2018 at 5:42 PM matematica10complicada < > [email protected]> wrote: > >> Opa Claudio, obrigado pela sua analise, vou te passar a questão e ai de >> repente podemos chegar a uma conclusão melhor. >> >> PROBLEMA: >> >> Num semicírculo de raio "r" e diametro AB, inscreve-se um quadrilátero >> ABCD, sendo P o ponto de encontro das diagonais AC e BD, determine a area >> máxima do triangulo CPD. >> >> Valeu pela ajuda. >> >> O.Douglas >> >> Em ter, 27 de nov de 2018 14:02, Claudio Buffara < >> [email protected] escreveu: >> >>> Não existe, pois quando x e y tendem a Pi/2 pela esquerda, >>> sen(x)sen(y) tende a sen^2(Pi/2) = 1 >>> e >>> x+y tende a Pi pela esquerda ==> tan^2(x+y) tende a zero pela direita. >>> Logo, o quociente tende a +infinito. >>> >>> On Tue, Nov 27, 2018 at 12:27 AM matematica10complicada < >>> [email protected]> wrote: >>> >>>> Ola meus caros! >>>> >>>> Preciso de uma ajuda no seguinte problema: >>>> >>>> Encontrar o valor maximo de >>>> >>>> [Sen(x).sen(y)]\[tg(x+y)]^2 , onde x e y sao agudos. >>>> >>>> Obrigado desde já. >>>> >>>> Douglas Oliveira. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
