A ideia é essa mesma. Uma possível prova é:
Seja x um elemento genérico de f[0, p]). Como A = {n + mp} é denso em R, x
é ponto de acumulação de A, havendo assim uma sequência(a_k) em A que
converge para x e tem seus termos distintos.
Afirmamos que (n_k) tem uma cauda com termos distintos. De fato, como (a_k)
é Cauchy, existe K tal que i, j > K implica que
|a_i - a_j| = |(n_i - n_j) + (m_i - m_j)p| < p (*)
Se n_i = n_j para i, j > K distintos, então (*) implica que |m_i - m_j| <
1. Como m_i e m_j são inteiro, então m_i = m_j e, portanto, a_i = a_j com i
<> j. Mas isso contraria o fato de que os termos de (a_k) são distintos.
Como toda sequência de reais, esta cauda de (n_k) tem uma subsequência
monótona. E como seus termos são inteiros positivos distintos, esta
subsequência é estritamente crescente.
Assim, em A existe uma sequência que converge para x e é tal que as
parcelas n_k são estritamente crescentes. Como p é período de f e f é
contínua, então
lim f(a_k) = lim f(n_k + p m_k) = lim f(n_k) = x.
Como x é um elemento genérico do conjunto imagem de f e (f(n_k)) é
subsequência de (f(n)), esta última é densa em f([0, p]).
Mas eu sei que há uma prova mais avançada, baseada na função exponencial
definida no disco unitário do plano complexo. Vi um esquema dela há muito
tempo e não entendi nada. Nem tinha conhecimento suficiente pra entender.
Gostaria de ver esta prova.
Artur
PS. A densidade do conjunto A foi discutida nesta lista em setembro de
2003, com base no princípio da casa dos pombos. Há 15 anos! O saudoso
Morgado participou da discussão.
Artur Costa Steiner
Em sáb, 8 de set de 2018 12:48, Claudio Buffara <[email protected]>
escreveu:
> Acho que a demonstração depende de dois fatos:
> 1) Se p = período fundamental de f e D é um subconjunto de [0,p] denso em
> [0,p], então f(D) é denso em f([0,p]) = imagem de f;
> e
> 2) O conjunto { n + mp | n é natural e m é inteiro} é denso em [0,p].
>
> (2) é consequência (e, se não me engano, foi a aplicação original) do
> princípio das gavetas de Dirichlet, e também é a base da demonstração do
> resultado que eu mencionei há alguns dias: dada qualquer sequência de
> algarismos, existe uma potência de 2 que começa com aquela sequência.
>
> D é denso em [0,p] ==> fecho(D) = [0,p].
> f([0,p]) é compacto, logo fechado.
> A ideia é mostrar fecho(f(D)) = f([0,p]) = f(fecho(D)).
> Obviamente
>
>
>
>
> On Sat, Sep 8, 2018 at 1:47 AM Artur Steiner <
> [email protected]> wrote:
>
>> Acho isto interessante:
>>
>> Suponhamos que f:R ---> R seja contínua, periódica e tenha período
>> fundamental irracional. Mostre que a sequência (f(n)) é densa no conjunto
>> das imagens de f.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
