Eu tenho uma prova matemática, um tanto complicada. Se y se anular um número finito de vezes, existe então a tal que y não se anula em [a, oo). Como y é contínua, y é, neste intervalo, positiva ou negativa. Para facilitar a leitura, deste ponto em diante os termos postivo e negativo sempre se referirão a [a, oo),
Suponhamos y seja negativa. Como g é positiva, a EDO implica que y'' seja positiva, o que, a seu turno, implica que y' seja estritamente crescente. Se y' assumir algum valor não negativo, então lim x --> oo y'(x) > 0, disto decorrendo que y(x) vá para oo com x, contrariamente à hipótese de que y é negativa. Assim, y' é negativa e y é estritamente decrescente. e negativa. Sendo w > 0 o ínfimo de g em R, para x em [a, oo) temos g(x) y(x) < d y(a) < 0. Pela EDO, segue-se que y''(x) > - d y(a) > 0 em [a, oo), logo o ínfimo de y'' neste intervalo é postivo. Como consequência, y' vai para oo com x, novamente uma contradição. Concluimos assim que a hipótese de que y seja negativa em [a, oo) é insustentável. Mas se y for positiva, então -y é uma solução da EDO negativa em [a, oo), o que vimos ser impossível. Vemos assim que a hipótese de que y se anule em R um número finito de vezes leva a contradição, sendo portanto falsa. Se y for o deslocamento da massa presa a uma mola com k variável e x for o tempo, então fica matematicamente provado que a massa vai passar pela origem infinitas vezes (desprezando atrito com o solo e resistência do ar) Artur Costa Steiner Em 19 de ago de 2018 14:21, "Artur Steiner" <[email protected]> escreveu: Seja g de R em R contínua e com ínfimo em R positivo. Mostre que toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros em R. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
