OK, aí vai minha solução. Antes, uma definição. Diremos que o par (x, y) é um par cíclico da função g de D em D se (x, y) for um elemento de D^2 tal que g(x) = y e g(y) = x, com x e y DISTINTOS. Como ordem aqui não importa, vamos acordar que (x, y) = (y, x).
Suponhamos que g = f o f para alguma f. Vamos mostrar que g não pode ter precisamente 1 par cíclico (pode ter mais de 1 ou nenhum, mas nunca exatamente 1). Suponhamos, por absurdo, que g tenha precisamente 1 par cíclico. Então, f(f(x)) = y e f(f(y)) = x. Façamos f(x) = u, f(y) = v. Segue-se que f(u) = y => f(f(u)) = v e, similarmente, f(f(v)) = u. Ou seja, g(u) = v e g(v) = u, indicando que (u, v) é um par cíclico de g. Como, por hipótese, (x, y) é o único par cíclico de g, isto nos leva a que u = x e v = y ou a que u = y e v = x. No 1o caso, chegamos a f(x) = u = x, g(x) = f(x) = u = x. Mas como g(x) = y, obtemos x = y, contradição. No 2o caso, obtemos f(x) = u = y, g(x) = f(y) = v = x. Mas como g(x) = y, temos novamente a contradição de que x = y. Se vc continuar indutivamente, vai concluir que ou g tem uma infinidade de pares cíclicos ou tem um número par dos mesmos. No nosso caso, se (x, y) for par cíclico de nosso trinômio do 2o grau g, então (x, y) é solução do sistema ax^2 + bx + c = y ay^2 + by + c = x Observemos que a simetria deste sistema leva sempre a duas soluções, não necessariamente distintas, da forma (s1, s2) e (s2, s1). Só originarão um par cíclico se s1 e s2 forem reais distintos. Se s1 = s2, que neste caso são reais, será gerado um ponto fixo de g, o que não impede a existência de f. Se não houver solução real, f não tem nenhum par cíclico, o que também não impede a existência de f (estamos no domínio real). Assim, para que f possa existir, devemos evitar o caso s1 e s2 reais distintos. Sipondo-se x e y distintos, subtraindo as equações temos a(x^2 - y^2) + b(x - y) = y - x, que dividida por x - y <> 0 leva a. y = -x - (b + 1)/a, lembrando que a <> 0. Com alguma álgebra, substituição na 1a equação leva à eq. quadrática em x ax^2 + (b+1)x + (b+1)/a + c = 0 Para que f possa existir, a hipótese x = y tem que levar a contradição..Esta ocorrerá se e somente se o delta da quadrática for menor ou igual a 0. Forçando isto, chegamos s (b+1)^2 - 4a((b+1)/a + c) ≤ 0 => b^2 + 2b + 1 - 4b - 4 - 4ac ≤ 0 => (b+1) (b-3) ≤ 4ac Esta desigualdade é uma condição necessária à existência de f. A complementação do Cláudio é muito interessante. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
