OK, aí vai minha solução.
Antes, uma definição. Diremos que o par (x, y) forma um ciclo da função g de D em D se (x, y) for um elemento de D^2 tal que g(x) = y e g(y) = x, com x e y DISTINTOS. Como ordem aqui não importa, vamos acordar que (x, y) = (y, x).
Suponhamos que g = f o f para alguma f. Vamos mostrar que g não pode ter precisamente 1 par cíclico (pode ter mais de 1 ou nenhum, mas nunca exatamente 1).
Suponhamos, por absurdo, que g tenha precisamente 1 par cíclico. Então, f(f(x)) = y e f(f(y)) = x. Façamos f(x) = u, f(y) = v. Segue-se que f(u) = y => f(f(u)) = v e, similarmente, f(f(v)) = u. Ou seja, g(u) = v e g(v) = u, indicando que (u, v) é um par cíclico de g. Como, por hipótese, (x, y) é o único par cíclico de g, isto nos leva a que u = x e v = y ou a que u = y e v = x. No 1o caso, chegamos a f(x) = u = x, g(x) = f(x) = u = x. Mas como g(x) = y, obtemos x = y, contradição. No 2o caso, obtemos f(x) = u = y, g(x) = f(y) = v = x. Mas como g(x) = y, temos novamente a contradição de que x = y.
Se vc continuar indutivamente, vai concluir que ou g tem uma infinidade de pares cíclicos ou tem um número par dos mesmos.
No nosso caso, se ,(x, y) for par cíclico de nosso trinômio do 2o grau g, então (x, y) é solução do sistema
ax^2 + bx + c = y
ay^2 + by + c = x
Logo, subtraindo as equações e observando que x e y são distintos, temos
a(x^2 - y^2) + b(x - y) = y - x, que dividida por x - y <> 0 leva a.
x + y = -(b + 1)/a, lembrando que a <> 0.
Com alguma álgebra, substituição na 1a equação leva à eq. quadrática em x
ax^2 + (b+1)x + (b+1)/a + c = 0
Agora, vejamos.
Se esta quadrática tivdr duas soluções distinta a simetria do sistema leva a um único pzr cíclico. Conforme vimos, isso impossibilita a existência da f procurada.
Se a quadrática tiver uma única solução, teremos mos um ponto fixo de g. Não existirão pares cíclicos. Nossa f poderá existir.
Se a quadrática não tiver nenhuma solução real, também não haverá pates cíclicos, a f piderá existir.
Assim, uma condição necessária á existência da f é que o delta da quadrática seja menor ou igual a 0. Forçando isso, chegamos â desigualdade dada.
A complementação do Cláudio é muito interessante.
Artur Costa Steiner
Em 14 de ago de 2018 19:03, Lucas Colucci <[email protected]> escreveu:
Olá, você poderia enivar a solução desse problema?ObrigadoLucas ColucciOn Sat, May 12, 2018 at 9:25 PM Artur Costa Steiner <[email protected]> wrote:Suponhamos que f: R—> R satisfaça a f(f(x)) = ax^2 + bx + c, onde a <> 0, b e c são coeficientes reais. Mostre que
(b + 1)(b - 3) <= 4ac
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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