A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". Mas também acho que Menelaus é o caminho.
Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1) Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários triângulos retângulos. Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que evita erros bobos). Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC cortado pela reta PDE. Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * BP/PC * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, AEH e HEC). A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB (idem para EA*CE). E neste ponto eu empaquei... Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante a HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema de Menelaus. Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... []s, Claudio. 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <[email protected]>: > A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema de > Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? > > Obrigado! > > > > Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos > as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o ponto da > interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e > C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados AC e AB. > Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
