Só pra constar, nas primeiras linhas da minha resposta o correro é 2005, não 2015. E meu ultimo argumento é que para existir uma função f(f(n)) = n + k esse k tem que ser par.
On Saturday, 12 May 2018, Pedro Soares <[email protected]> wrote: > 1- f(n) é injetiva > f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b > > 2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f, > sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números. > > Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de > f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os > k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não > pertencem a imagem de f(f(n)). > > Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem 2005 naturais que não pertencem a > imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de > N->N > > On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi <[email protected]> wrote: > >> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga). >> Lema 1: f é injetora. >> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b. >> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f. >> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é >> injetora, f(f(a) - 2005) = a. >> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005. >> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003 >> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 >> elementos t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é >> injetora, pelo princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que >> f(f(t)) ∈ S ⇒ 2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004. >> >> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1, >> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem >> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1, >> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj, >> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002 >> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao >> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo >> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) = >> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005. >> >> Portanto, não existe tal f. >> >> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo <[email protected]> >> escreveu: >> >>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal >>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e >>> i é um número ímpar >>> >>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo <[email protected]> >>> wrote: >>> >>>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, >>>> onde g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero >>>> f(f(n)) = g(f(n)) + m >>>> >>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos >>>> g(f(n)) + m = n + 2005 >>>> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é >>>> um polinômio, que é um absurdo. >>>> >>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo <[email protected]> >>>> wrote: >>>> >>>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é >>>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial >>>>> >>>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica < >>>>> [email protected]> wrote: >>>>> >>>>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais >>>>>> geral >>>>>> >>>>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo < >>>>>> [email protected]> escribió: >>>>>> >>>>>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então >>>>>>> teríamos >>>>>>> f(f(n)) = a(an + m) + m >>>>>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m >>>>>>> >>>>>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m >>>>>>> deve ser um número natural. >>>>>>> >>>>>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir < >>>>>>> [email protected]> wrote: >>>>>>> >>>>>>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + >>>>>>>> 2005 ??? >>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
