Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
Portanto, não existe tal f.
Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo <[email protected]>
escreveu:
> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo <[email protected]>
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n + 2005
>> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo <[email protected]>
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> [email protected]> wrote:
>>>
>>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>>>> geral
>>>>
>>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo <[email protected]>
>>>> escribió:
>>>>
>>>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>>>> teríamos
>>>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>>>
>>>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>>>> deve ser um número natural.
>>>>>
>>>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>>>> [email protected]> wrote:
>>>>>
>>>>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>>>>>> 2005 ???
>>>>>>
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>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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