2018-04-16 20:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > Resumo da ópera: ainda não temos uma demonstração elementar disso. > > Mas não deixa de ser interessante tentar dar uma interpretação geométrica da > expressão para polinômios de grau baixo que tenham todas as raízes reais e > distintas. > > Grau 2 é meio evidente: as retas tangentes à parábola nas raízes têm > inclinações de mesma magnitude e sinais opostos.
A média harmônica das inclinações é zero, o que mesmo algébrico, não deixa de ser interessante. E talvez "baste" achar uma visão geométrica da média harmônica neste contexto. Outra forma de dar a mesma equação é que "a última inclinação" é (o oposto) da média harmônica das outras. Como interpretar isso, tenho menos ideia ainda... > Grau 3 é mais interessante... > De cara, dá margem ao problema: "Uma função polinomial de grau 3 tem raízes > (ou será que é melhor chamar de "zeros" - funções têm zeros, quem tem raízes > são equações...) reais e distintas: a, b e c. Se as retas tangentes ao > gráfico da função nos pontos (a,0) e (b,0) têm inclinações m e n, > respectivamente, determine a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto > (c,0).", cuja tentativa mais óbvia de solução vai descambar num monte de > contas (desnecessárias) envolvendo a, b e c, quando a resposta é -mn/(m+n). Também é verdade (graças ao Douglas e o Polinômio Interpolador de Lagrange) que a/m + b/n - c(m+n)/mn = 0, ou seja, an + bm = c(m+n), o que dá uma relação entre m e n em função das raízes. Observe que isso está "certo" (de novo do ponto de vista algébrico), pois o polinômio tem 4 coeficientes, e além das 3 raízes, precisamos de um fator multiplicativo, que pode ser dado de várias formas: tipicamente, é o coeficiente de mais alto grau ou o valor em um ponto particular que não seja zero, mas agora acabamos de ver que poderia até ser a inclinação de uma tangente a uma raiz simples! (a, b, c, m determinam tudo!) Aliás, isso sugere que talvez haja uma demonstração puramente algébrica para tudo isso, contando dimensões. O número de coeficientes do polinômio é (n+1). Por outro lado, dados n valores x_i (para as raízes), e n valores m_i (para as derivadas nestes pontos), sabemos que há n-1 equações G(X_i, M_i) = 0 para "acertar a dimensão". Claro que as equações devem ser simétricas nos X_i e M_i... mas isso ainda não basta para mostrar a forma especial \sum X_i^k / M_i = 0... Alguém tem uma ideia? Por exemplo, já pode ser um bom passo mostrar que as equações são homogêneas em X e M. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
