Oi Claudio,
Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um
polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em
Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1
e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares,
donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o
coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para
polinômios quadráticos continua provada.
Abraços,
Gugu
Quoting Claudio Buffara <[email protected]>:
Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
inteiros), então também terá (a-bi)/c.
Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
(incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
2ac é necessariamente par).
f(z) | 37971 z^998 + ... + 67917 ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
de dois quadrados.
[]s,
Claudio.
2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>:
Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de um
pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
ambas as partes racionais.
Artur Costa Steiner
Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
[email protected]> escreveu:
Mostre que o polinômio
P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 - 21438
x^129 + 67917
não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
Abraços.
Artur Costa Steiner
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