Olá, Pedro! Olá, Claudio! Muito obrigado pela ajuda! Eu confesso que tenho um preconceito com o método da indução. Será que algum matemático já criticou esse método? Eu já li alguns livros de história da Matemática e nunca esclareci essa dúvida... Talvez seja só uma fantasia... Um abraço! Luiz
On Mon, Apr 2, 2018, 8:31 PM Claudio Buffara <[email protected]> wrote: > De certa forma, o princípio da indução está implícito toda vez que você > escreve "..." num somatório de 1 até n. > > Mas concordo com sua crítica (se é que a entendi). > Muitos problemas (talvez a maioria) do tipo "prove por indução" consistem > de uma receita de bolo envolvendo algumas manipulações algébricas e, assim, > não acrescentam praticamente nada ao repertório dos estudantes. Além disso, > introduzem um formalismo excessivo que talvez não seja adequado no ensino > médio. > > A meu ver, o princípio da indução deveria ser usado em problemas tais como: > "conjecture uma fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros números > naturais e, depois, demonstre esta fórmula." > Nestes casos, o trabalho interessante, criativo, está na formulação da > conjectura. > A demonstração, por indução, é apenas uma formalidade. > Mas o fato é que nunca vi, fora de olimpíadas, problemas propostos neste > formato "conjecture e demonstre". E nas olimpíadas, a diretiva "conjecture > e demonstre" quase sempre está implícita. > > []s, > Claudio. > > > > > 2018-04-02 19:45 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: > >> Boa noite! >> >> Se tem que ser por indução???!!!! >> >> para n = 2 ==> a1 + a1 q < = q.a1q/(q-1) >> a1(q+1) <=a1q^2/(q-1) com q>1 ==> a1(q+1)(q-1)<=a1q^2 ==> - a1<=0, o que >> é verdade para a1>0 por premissa. >> Supondo >> Sn<=aq^n/(q-1) >> >> Sn+1 <= a.q^(n+1)/(q-1) >> Sn +aq^n <= a.q^n/(q-1) * (1+q) >> Sn + aq^n <= aq^n/(q-1) + aq^n. q/(q-1) >> >> Como Sn<=aq^n/(q-1) basta mostrar que aq^n <= aq^n. q/(q-1), que é óbvio >> pis, q/(q-1) >1. >> >> Só não entendi o propósito. >> >> Sn = a1 + a1q + a1q^2 +... +a1q^(n-2)+a1q^(n-1) >> Sn.q = a1q + a1q^2 +... +a1q^(n-2)+a1q^(n-1)+a1q^n >> Sn(q-1) = a1q^n - a1= a1 (q^n-1) >> Sn = a1(q^n-1)/(q-1) <=a1q^n/(q-1) >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> Em 2 de abril de 2018 16:32, Luiz Antonio Rodrigues < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Olá, pessoal! >>> Boa tarde! >>> Estou quebrando a cabeça com o problema abaixo há alguns dias. Não >>> consigo nem provar o caso para o primeiro elemento... >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado e um abraço! >>> >>> Prove que a soma dos n primeiros termos de uma P.G. crescente (com a1>0) >>> obedece, para n>1 >>> >>> Sn<=(q.an)/(q-1) >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
