2018-04-02 8:58 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > Sem ter tido nenhuma grande ideia, eu usaria uma planilha para explorar > ambos os problemas. > Eu sei que, numa olimpíada de verdade, isso não seria possível. Mas isso não > é uma olimpíada de verdade. > E, de resto, usar planilhas pra gerar conjecturas em problemas de matemática > pura é algo que deveria ser ensinado nas escolas desde, pelo menos, o 6o > ano. > > 1) Calcular f(n) pra n pequeno (digamos, até 100 ou 200) e pra cada um dos > 204 valores possíveis de f(1) e, com base neste "experimento" tentar gerar > alguma conjectura.
Na verdade, o 2004 é uma boa dica que tem algo estranho. Seja x = f(1) (isso é de fato uma boa ideia). Temos que f(2) = f(1+1) = x^2 + (x^2 - 1)/2004 + 1. (De novo, calcular para pequenos valores é uma boa ideia em geral, não apenas para olimpíadas - e na vida real, de fato calcular até 100 ou 200 seria um "bom mínimo". Mas como temos a "dica" de que o problema vem de uma olimpíada "tradicional", deve bastar calcular muito pouco) Ou seja, queremos encontrar x tal que x^2 - 1 = 2004k, para algum k inteiro. Tem a solução óbvia x = 1, que dá por recorrência f(n) = n. Para as outras, tem que resolver a correspondente equação inteira (não é muito difícil, basta fatorar (x+1)(x-1), tirar os fatores pares)... Mas (com o computador) é bem fácil ver não tem solução até 204. Aliás, eu duvido muito que isso dê certo para n = 3 depois de ter dado certo para n = 2 ;-) Por exemplo, tem uma solução com x = 335, que dá f(2) = 392, mas daí f(3) deixa de ser inteiro :D) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
