2018-02-24 9:47 GMT-03:00 Luís Lopes <[email protected]>: > 1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2 > > Recebi o problema acima de um outro grupo. > > Como resolver ?
Oi Luis, Eu começaria retirando as coisas "óbvias": mostre que tem uma solução com x = 0, que x = -1 não dá, e que para x < -1 também não dá porque o lado esquerdo fica entre 1 e 2 estritamente. Também testando, x = 1, 2, 3 dão 11, 37, 137, que não são quadrados. Agora vamos fatorar (o que for possível) e depois separar em casos. É uma solução meio força-bruta. Deixo um espaço aqui para quem quiser continuar pensando (e achar algo menos apelativo). - Ponha z = 2^x. Temos z(1 + 2z) = y^2 - 1 = (y-1)(y+1), e z é uma potência "grande" de 2, e (1 + 2z) é ímpar. - Logo, o produto (y-1)(y+1) é par, pelo menos um dos fatores é par, logo ambos os fatores são pares. - Nesta fatoração, exatamente um dos termos (y-1) ou (y+1) contém uma potência grande de 2 (grande quer dizer "maior do que 2^2"), o outro será 2*ímpar. - Logo, y + d = 2^m * k, com k ímpar, m >= 2 (potência grande), e d = +1 ou -1 (para escolher qual dos fatores vai ser). Daí deduzimos que o outro fator, y - d, é igual a 2^m * k - 2*d = 2(2^(m-1)*k - d), que é 2*ímpar porque m >= 2. Juntando: 2^x * (1 + 2*2^x) = 2^m * k * 2 * (2^(m-1) * k - d) = 2^(m+1) * k * (2^(m-1) * k - d) - Olhando para as potências de 2, temos x = m+1 >= 3. Vamos olhar para a parte ímpar. Para simplificar a notação, vou usar n = m-1 >= 1 Do lado esquerdo, temos 1 + 2*2^x = 1 + 4*2^m = 1 + 8*2^n Do lado direito, temos k * (2^n * k - d) Dividindo por 2^n em ambos os lados, ficamos com 8 + 1/2^n = k^2 - kd/2^n Se d = +1, esta equação dá 8 = k^2 - (k+1)/2^n, o que mostra que k >= 3. Para k = 3, temos 8 = 9 - 1, logo (k+1)/2^n = 1, o que dá 2^n = 4, n = 2. Isso corresponde à solução x = 4, y = 23. (quase não acreditei, mas é verdade! Isso dá um pouco de confiança que eu não errei muitas contas aí pra trás!) Como k^2 - (k+1)/2^n é uma função crescente de k para k > 3 (lembre que n >= 1), o lado direito vai ser sempre maior do que 5^2 - 6/2 = 18. Se d = -1, esta equação é 8 = k^2 + (k+1)/2^n, o que dá k < 3. Só poderia ser k = 1 (pois é ímpar), e o maior valor possível é 1 + (1+1)/2 = 2, muito longe. Então não há outra solução. Ufa!! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
