Srs, muito obrigado. Conforme disse era uma dúvida básica, mas que ficou muito bem esclarecida. Achei a solução do Marcelo Salhab elegante. Saudações, Um [ ].
Em 3 de março de 2016 17:38, Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]> escreveu: > Oi, Roger, > > Acho que dá pra usar decomposição em frações parciais usando as raízes > complexas. > > As raízes do polinômio (1+s^2)^2 são: i e -i, ambas com cardinalidade 2. > Logo, podemos escrever: > > 1/(1+s^2)^2 = A/(s-i) + B/(s-i)^2 + C/(s+i) + D/(s+i)^2 > > Multiplicando ambos os lados por (s-i)^2(s+i)^2, temos: 1 = A(s-i)(s+i)^2 > + B(s+i)^2 + C(s+i)(s-i)^2 + D(s-i)^2 > > Fazendo s=i, temos: 1 = B(2i)^2 => B = -1/4 > Fazendo s=-i, temos: 1 = D(-2i)^2 => D = -1/4 > > Derivando em relação a s, temos: > 0 = A(s+i)^2 + A(s-i)2(s+i) + 2B(s+i) + C(s-i)^2 + 2C(s+i)(s-i) + 2D(s-i) > > Fazendo s=i, temos: 0 = A(2i)^2 + 2B(2i) => 0 = -4A + 4Bi => 0 = -4A - i > => A = -i/4 > Fazendo s=-i, temos: 0 = C(-2i)^2 + 2D(-2i) => 0 = -4C - 4Di => C = -Di => > C = i/4 > > Portanto: 1/(1+s^2)^2 = (-1/4) * [ i/(s-i) + 1/(s-i)^2 - i/(s+i) + > 1/(s+i)^2 ] > > L[exp(it) u(t)] = 1/(s-i) > L[exp(-it) u(t)] = 1/(s+i) > L[exp(it) t u(t)] = 1/(s-i)^2 > L[exp(-it) t u(t)] = 1/(s+i)^2 > > Portanto: > > L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i exp(it) + exp(it)*t - i exp(-it) + > exp(-it)*t ] > > Note que 2cos(t) = exp(it) + exp(-it) e que 2isen(t) = exp(it) - exp(-it). > > Portanto: > L^{-1} [1/(1+s^2)^2] = (-u(t)/4) * [ i 2isen(t) + 2tcos(t) ] = u(t)/2 * [ > sen(t) - tcos(t) ] > > Assim, a inversa que você busca é: u(t)/2 * [ sen(t) - tcos(t) ] > > Abraços, > Salhab > > > 2016-03-03 16:24 GMT-03:00 Roger <[email protected]>: > >> Pessoal, boa tarde. >> >> Pode ser uma dúvida básica, mas se alguém puder indicar a resposta. >> >> Qual a transformada inversa de laplace de: >> >> 1/(1+s^2)^2 >> >> [ ]'s >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
