Boa tarde! Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). Procure expressar melhor o que você deseja.
Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a congruência se repete... Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0<d <m, tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn teremos: Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ 1 (mod 81), 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 (mod m),. Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). Portanto temos que: ordma divide Ф(m). E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. Recomendo você dar uma lida: http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf Saudações, PJMS. Saudações. Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero > entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir > que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é > claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? > Aqui está a solução da equação diofantina: > http://diego.mat.unb.br/click.html > No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a > -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu > para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu > concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 > até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se > repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências > módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser > impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as > potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém > pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo > para mim, desde já agradeço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
