Tem funcoes demais... Basicamente: i) Escolha um a qualquer tal que 0<a<1. ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a). iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes!
Abraco, Ralph. 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes <[email protected]>: > *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema: > > - Encontre todas as funções contínuas f : [0,1] --> [0,1] tais que: > f(f(x)) = x . > > *Procedi da seguinte maneira: > > 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) que > f é bijetiva . > > 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA : Se f : X --> R é uma > função contínua , então f é injetiva se e somente se é crescente ou > decrescente. > > 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu como > eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que f é crescente ( > o caso em que f é decrescente é análogo) , II. Suponha que para algum x > em (0,1) : f(x) > x então x = f(f(x)) > f(x) ,uma contradição e da > mesma forma eliminamos o caso f(x) < x ; portanto f(x) = x , para todo > x em [0,1] . > > 4.O problema fica quando tento provar o caso em que f é decrescente ( > que parece não ser completamente análogo) ; obviamente a função f(x) = 1 > - x também satisfaz , logo tentei obter uma contradição ao supor f(x) < > 1 - x para algum x em (0,1) ; parei por aqui. > > *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica > simples etc...) contudo não consegui continuar ; se for algo mais > complexo poderiam enviar uma dica junto a solução? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
