*Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema: - Encontre todas as funções contínuas f : [0,1] --> [0,1] tais que: f(f(x)) = x .
*Procedi da seguinte maneira: 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) que f é bijetiva . 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA : Se f : X --> R é uma função contínua , então f é injetiva se e somente se é crescente ou decrescente. 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que f é crescente ( o caso em que f é decrescente é análogo) , II. Suponha que para algum x em (0,1) : f(x) > x então x = f(f(x)) > f(x) ,uma contradição e da mesma forma eliminamos o caso f(x) < x ; portanto f(x) = x , para todo x em [0,1] . 4.O problema fica quando tento provar o caso em que f é decrescente ( que parece não ser completamente análogo) ; obviamente a função f(x) = 1 - x também satisfaz , logo tentei obter uma contradição ao supor f(x) < 1 - x para algum x em (0,1) ; parei por aqui. *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica simples etc...) contudo não consegui continuar ; se for algo mais complexo poderiam enviar uma dica junto a solução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
