Sim, se n é primo, n! não é quadrado perfeito. Além disto, se n é primo, então n + 1, n + 2.... n + n - 1 = 2n - 1 não têm em suas fatorações o fator n. Logo, nas decomposições primas dos fatoriais destes números, n aparece com expoente 1, o que significa que nenhum destes fatoriais é quadrado perfeito. Disto concluimos que se um composto está ente um primo p e 2p, então n! não é quadrado perfeito.
Mas todo composto está entre um primo p e 2p. Sendo m um composto, seja p o maior primo menor que m. Segundo um teorema, há um primo p' tal que p < p' < 2p. Como p é o maior primo menor que m, temos que p < m < p' < 2p, mostrando que m está entre p e 2p. Assim, para nenhum composto n! é quadrado perfeito. E como para n primo também não é, segue-se que n! só é quadrado perfeito para n = 0 ou n = 1. Isto mostra que, para todo n > 1, na decomposição de n! em fatores primos, há um p que aparece com expoente 1. Assim, na realidade, para n > 1, n! não é potência inteira > 1 de nenhum inteiro. Veja se cometi algum engano. Abraços Artur Artur Costa Steiner > Em 18/12/2014, às 22:59, marcone augusto araújo borges > <[email protected]> escreveu: > > Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito. > > Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar? > > Se n é primo, n! não é quadrado perfeito. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
