Os casos 0! e 1! são os únicos exemplos em que um fatorial pode ser um
quadrado perfeito.
Vamos considerar N >= 2.
Seja {p_i} (i natural) a sequência dos primos. Vamos usar a seguinte
desigualdade (Chebychev): p_(n+1) < 2 * p_(n) para todo n natural.
Seja também j natural tal que p_(j) <= N < p_(j+1). Assim, vamos ter: p_(j)
<= N < p_(j+1) < 2 * p(j) <= (p(j))^2. Podemos reparar, então, que o piso
de (N / p_(j)) = 1 e ainda que o piso de (N / p_(j)^(alpha)) = 0 para todo
alpha >= 2.
A fórmula de Polygnac afirma que o expoente de um primo p_(i) qualquer na
expansão de N! é dado por: somatório_{alpha = 1}^{+ infty} piso((N /
p_(i)^(alpha))). No caso do nosso primo p_(j), esse somatório é unitário.
Assim, N! não pode ser um quadrado perfeito.
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acredita-se estar livre de perigo.
