2014-11-27 15:44 GMT-02:00 Amanda Merryl <[email protected]>:
> Oi amigos.
>
> A função zeta é definida para complexos com Re(z) > 1 pela série Z(z) =
> Soma(k = 1, oo) k^(-z). Embora isto não seja uma série de potências, acho que
> podemos derivar termo a termo indefinidamente,
Não é uma série de potências, mas é uma série de funções. Reveja os
teoremas de convergência uniforme / normal para séries de funções.
Funções de variável "qualquer", claro, para aplicar no caso z
complexo. (Os teoremas que você viu num curso de análise real sobre
séries muitas vezes possuem análogos para mais variáveis, com "a mesma
demonstração".)
> de modo, que, se isto for válido, então, no semiplano Re(z) > 1, a ngésima
> derivada é
>
> Z[n](z) = (-1)^n Soma(k = 2, oo) (ln k)^n k^(-z)
>
> Eu acho que consegui provar isso no caso de z real. Usando indução e o teste
> da integral, podemos mostrar que esta série converge para todo real z > 1. E
> como a série primitiva converge, a fórmula acima vale para todo z > 1. Mas
> vale de fato para todo complexo z com Re(z) > 1. Se sim, como podemos provar?
Se você estiver fazendo um curso de análise complexa, talvez valha a
pena fazer de outra forma: primeiro, você vai ter que provar que a
zeta é holomorfa. Em seguida, mostrar que a série da derivada n-ésima
também define uma função holomorfa. (Provavelmente, similar à
anterior.) Enfim, conclua que ambas coincidem na reta real, logo por
continuação analítica são iguais em todo { Re(z) > 1 }
> Obrigada.
>
> Amanda
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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