Boa tarde! O número de algarismos "x" não nulos de 50^50 é igual ao número de algarismos de 5^50
seja t = [x], t Ɛ e x - 1 < t =< x x = [50*log(5)]+1 = 35 ==> S (50^50) =< 9*35 = 315 ==> S(S(50^50)) =< 2+9 +9 = 13 ==> S(S(S50^50) <10 ==> ==> S(S(50^50)) só tem um algarismo S(S(S(50^50))) ≡ 3* (50^50) mod 9 50^50 ≡ 5^50 * 10^50 ≡ 5^50 mod 9 pois, 10 ≡ 1 mod9 5^50 ≡ (5^6)^8 * 5^2 ≡ 7 mod 9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) ==> S(S(S(50^50))) ≡ 3* 7 ≡ 3 mod9. Como 0<= S(S(S(50^50))) <10 ==> ==> S(S(S(50^50))) = 3 (i) O número de algarismos "y" não nulos de 770^770 é gual ao número de algarismos de 77^770 y = [770* log (77)] + 1 ==> y = 1453 ==> S(770^770) <= 13077 (9*1453) ==> S(S(770^770)) =< 30 (1 + 2 + 9 + 9 + 9) ==> S(S(S(770^770))) =< 11 (2+9) Se S(S(S(770^770))) possui dois algarismos 770^770 ≡ 1 mod 9 ou 770^770 ≡ 2 mod 9 770^770 ≡ 77^770 * 10^770 ≡ 77^770 mod 9 pois 10 ≡ 1 mod9 77^770 ≡ (77^6)^128 * 7^2 ≡ 4 mod9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) ==> S(S(S(770^770))) só possui um algarismo ==> 0<= S(S(S(770^770))) 10 ==> S(S(S(770^770))) 3* 4 ≡ 3 mod9. Como 0<= S(S(S(770^770)))<10 ==> S(S(S(770^770))) = 3 (ii) (i) e (ii) ==> S(S(S(50^50))) = S(S(S(770^770))) Saudações, PJMS. Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela <[email protected]> escreveu: > Olá! > > > > Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) > e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através > da propriedade mencionada pelo Ralph: > > > > S(x) = x (mod. 9) > > > > Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: > > > > “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. > > > > Exemplo: > > > > Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e > 770^770 são iguais. > > > > ________________________________________ > > Albert Bouskelá > > [email protected] > > > > *De:* [email protected] [mailto:[email protected]] *Em > nome de *Ralph Teixeira > *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 > *Para:* [email protected] > *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da > Olimpíada de Matemática de Moscou > > > > Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: > > > > S(x) = x (mod 9) > > > > Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) > > > > Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode > ser 1993. > > > > Abraco, > > Ralph > > > > 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo < > [email protected]>: > > não tem solução!! hehehe > > > > 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela <[email protected]>: > > Olá! > > > > A melhor solução é pelo “cheiro” > > > > 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993 > > 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993 > > 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) > > 4) x=<1993-16-2=1975 > > 5) 1960=<x=<1975 > > 6) Agora é no braço… > > 7) Mas há uma surpresa no final! > > > > ________________________________________ > > Albert Bouskelá > > [email protected] > > *De:* [email protected] [mailto:[email protected]] *Em > nome de *Mauricio de Araujo > *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 > *Para:* [email protected] > *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou > > > > Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. > > > > Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. > > > > -- > > Abraços > > > oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
