x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 ==> x | x^2 + y^2 +1 (i) x | x^2 e (i) ==> x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) ==> Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) (ii) e por simetria da proposta ==> Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 ==> y =( x^2 + 1)/m (iii) (ii) e (iii) ==> kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 ==> m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv) m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. (iv) e (v) ==> x | x^4 + 2x^2 +2 (vi) x | x^4 + 2x^2 (vii) (vi) e (vii) ==> x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 +1) ==> x = 1 ou x = 2 e por simetria y=1 ou y=2. Pela paradidade da primeira exprexão x ou y Ɛ 2Z + 1. Portanto a solução (2,2) não serve.
x=1 e y= 1 ==> (x^2 + y^2 + 1)/xy = 3/1 = 3. x=1 e y= 2 ==> (x^2 + y^2 + 1)/xy = 6/2 = 3 x=2 e y=1 ==> (x^2 + y^2 + 1)/xy = 6/2 = 3 c.q.d. *nota: O símbolo | significa "divide" ou "tal que" a depender do contexto.* *Em vermelho a ocrrência do erro, só fiz y^2 e não y^2 + 1 * Desculpem-me a barbeiragem. Saudações, PJMS Em 15 de agosto de 2014 11:02, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Bom dia! > > Desconsiderar. Há algo errado. > > x=1 e y=2 é solução. > > Saudações, > PJMS > > > Em 15 de agosto de 2014 10:23, Pedro José <[email protected]> escreveu: > > Bom dia! >> >> x, y Ɛ Z+ e xy | x^2 + y^2 +1 ==> x | x^2 + y^2 +1 (i) >> x | x^2 e (i) ==> x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e x^2) >> ==> Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii) >> (ii) e por simetria da proposta ==> Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 ==> y =( x^2 >> + 1)/m (iii) >> (ii) e (iii) ==> kx = (x^4 + 2x^2 +1)/m^2 ==> m^2k x = x^4 + 2x^2 +1 (iv) >> m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z. >> (iv) e (v) ==> x | x^4 + 2x^2 +1 (vi) >> x | x^4 + 2x^2 (vii) >> (vi) e (vii) ==> x 1 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 2x^2 >> +1) ==> x = 1 e por simetria y =1 >> >> ==> (1^2 + 1^2 + 1)/ 1*1 = 3 c.q.d. >> >> *nota: O símbolo | significa "divide" ou "tal que" a depender do >> contexto.* >> >> >> Saudações >> >> PJMS >> >> >> Em 14 de agosto de 2014 23:12, marcone augusto araújo borges < >> [email protected]> escreveu: >> >> Sejam x e y inteiros positivos tais que xy divide x^2 + y^2 + 1 >>> Mostre que (x^2 + y^2 + 1)/xy = 3 >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
