2014-07-05 2:35 GMT+02:00 Merryl <[email protected]>: > Seja f:I --> R contínua no ponto a do intervalo aberto I. Suponhamos que > para todas sequências (x_n) e (y_n) em I tais que > > (x_n) seja crescente e convirja para a > > (y_n) seja decrescente e convirja para a > > x_n < a < y_n para todo n > > exista um mesmo real L para o qual convirjam os quocientes ((f(y_n) - > f(x_n))/(y_n - x_n)). > > Mostre que f é diferenciável em a e que f'(a) = L
Bom, como o Ralph e o Artur já demonstraram, eu não vou escrever a minha versão, mas apenas comentar para você tentar fazer sozinha sem copiar as soluções deles, o que é a melhor maneira de aprender. Essa questão tem vários problemas. O maior é que você tem informação para "o limite de toda sequência" e você gostaria de ter uma informação numa vizinhança. Por assim dizer, um problema de "uniformizar" / "juntar" todos os limites x_n -> a numa coisa que é válida para |x - a| < epsilon. Esse foi o esforço principal do Artur, que matou o problema no lema que ele mostrou. O outro problema é que tem variáveis demais, e isso pode atrapalhar. Note que você pode supor, sem perda de generalidade, que * a = 0 * f(a) = 0 * L = 0 Nada disso vai resolver o problema, mas pode "limpar a área" e ajudar a fazer a parte de cima mais rápido. Isso é justificado com uma mudança de variáveis (e funções) da seguinte forma: em vez de f(x), considere a função g(x) = f(x + a) - f(a) - L*x. Veja que isso corresponde ao "resto da aproximação linear" quando você considera a derivada como a melhor reta que aproxima a sua função. Aliás, para muitos problemas "fundamentais" de derivada, é sempre MUITO poderoso usar a formulação f(x + a) = f(a) + f'(a)*x + resto(x,a), onde resto(x,a)/x -> 0 quando x -> 0. Isso feito, a minha demonstração (que é mais ou menos a do Artur "ao contrário") é assim: A) Mostre que para y_n -> 0 (decrescente) é sempre verdade que f(y_n)/y_n -> 0, usando uma sequência x_n tal que |f(x_n)| < 1/2 * |f(y_n)|, e |x_n| < |y_n| (que existe pela continuidade de f em 0). B) O passo de "uniformizar" : suponha por absurdo (como todos fizeram até aqui, estou ainda tentando achar uma versão direta) que a derivada não seja L, isso dá uma sequência SPG decrescente (como fez o Ralph) y_n -> 0 tal que f(y_n) é "grande". De novo usando o truque " |f(x_n)| < 1/2 * |f(y_n)|, e |x_n| < |y_n| ", isso dá um par de sequências x_n < 0 < y_n onde o limite não vai dar zero, absurdo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
