Considerando x,y,z > 0: Faça a = y/x, b = z/x e c = x/z (repare que abc = 1).
x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = (3 + 2(a+b+c) + (ab+ac+bc)) / (1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc). Nessa última expressão: S1 = a+b+c, S2 = ab+ac+bc. Lembrando que abc = 1, vamos ter o seguinte: x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = (3 + 2S1 + S2) / (2 + S1 + S2) <= 2 <-> 3 + 2S1 + S2 <= 4 + 2S1 + 2S2 <-> 0 <= 1 + S2, que é uma desigualdade verdadeira. Em 30 de abril de 2014 11:02, marcone augusto araújo borges < [email protected]> escreveu: > Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) < = 2 > > Se não errei em algo,usando H < = A e G < = A, acabei encontrando m > = 3/2 > H é média harmônica, A é média aritmética e G, média geométrica > Alguém ajuda? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
