Olá! Há várias formas de provar que 0,999...=1. A que eu prefiro é a seguinte:
Na base de numeração 10: Eq. A: 1/9 + 8/9 = 0,111... + 0,888... = 0,999... Na base de numeração 9: Eq. B: 1/10 + 8/10 = 0,1 + 0,8 = 1 Eq. C: (1/9 + 8/9) [base 10] = (1/10 + 8/10) [base 9] = (0,1 + 0,8 = 1) [base 9] = 1 [base 10] A Eq. C prova que a Eq. A é equivalente à Eq. B. Logo: 0,999... (base 10) = 1 (base 9) = 1 (base 10) Albert Bouskela [email protected] > -----Mensagem original----- > De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em > nome de Artur Steiner > Enviada em: terça-feira, 3 de dezembro de 2013 23:27 > Para: [email protected] > Assunto: Re: RES: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999... > > Uma forma rigorosa de provar que 0,999.... = 1 é considerar que, por > definição, 0,999..,é o limite da série geométrica > > 0,9 + 0,09 + 0,009... > > Uma série geométrica cuja razão é 0,1. Logo, > > 0,999... = 0,9/(1 -0,1) = 0,9/0,9 = 1 > > Artur Costa Steiner > > > Em 03/12/2013, às 21:46, "Albert Bouskela" <[email protected]> > escreveu: > > > > Ennius, > > > > Existe um procedimento padrão, muito utilizado para transformar dízimas > > periódicas em frações, que resolve problemas desse tipo ― ver abaixo: > > > > x = 2,344999... > > 10x = 23,44999... = 21,105 + 2,344999... = 21,105 + x > > 9x = 21105/1000 > > x = 21105/9000 = 2,345 > > > > Caso queira ser mais elegante: > > > > x = 2,344999... = 2,344 + 0,000999... = (2344+0,999...)/1000 (Eq. 1) > > > > Basta provar que 0,999... = 1 > > y = 0,999... > > 10y = 9,999... = 9 + 0,999... = 9 + y > > 9y = 9 > > y = 1 > > Voltando à Eq. 1: x = (2344+0,999...)/1000 = (2344+1)/1000 = 2,345 > > > > Albert Bouskela > > [email protected] > > > >> -----Mensagem original----- > >> De: [email protected] [mailto:[email protected]] > Em > >> nome de Ennius Lima Enviada em: terça-feira, 3 de dezembro de 2013 > >> 16:39 > >> Para: [email protected] > >> Assunto: Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999... > >> > >> Na verdade, eu quis dizer 2,344999... > >> Creio que falta algo na demonstração dada pelo Pedro José, a > quem > >> muito agradeço. > >> Gostaria de um exame melhor da questão, se possÃvel for. > >> Abraços do Ennius! > >> ____________________________ > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> De: Pedro José < [email protected] > > >> Enviada: Quinta-feira, 28 de Novembro de 2013 17:04 > >> Para: [email protected] > >> Assunto: Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999... > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> Bom dia! > >> > >> > >> A primeira é fácil demais: > >> > >> 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3 = 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ > -3+ > >> 0* 10^-4 + 0*10^-5 + 0*10^-6... > >> > >> > >> A segunda é simples também: > >> > >> 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3= 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 9 *10^- > 3 + > >> 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6... Simplificando as parcelas iguias em > >> ambos os lados da iguldade teremos: > >> > >> 5*10^ -3= 9 *10^-3 + 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6.. > >> > >> o lado direito é o limite de uma soma de PG de razão 1/10 e a1 = > >> 9*10^-3 quando o número de termos tende a infinito > >> > >> > >> donde 5*10^ -3 = 5*10^-3 > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> > >> Em 28 de novembro de 2013 16:39, Ennius Lima <[email protected]> > >> escreveu: > >> > >> Caros Colegas, > >> > >> > >> Como provar que 2,345 = 2,3450000... = 2,34999... ? > >> > >> Desde já, muitÃÂssimo grato! > >> > >> Ennius Lima > >> ______________________________________ > >> > >>  > >>  > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > ================================================ > >> ========================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > >> > ================================================ > >> ========================= > >> > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv rus e acredita-se > >> estar livre de perigo. > >> > >> > ================================================ > >> ========================= > >> Instru es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > ================================================ > >> ========================= > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se > > estar livre de perigo. > > > > > > > ================================================ > ====================== > > === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ================================================ > ====================== > > === > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv rus e acredita-se estar > livre de perigo. > > > ================================================ > ========================= > Instru es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ================================================ > ========================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
