2013/8/18 marcone augusto araújo borges <[email protected]> > Se a e b são números reais tais que a^3 - 3a^2 + 5a = 1 e b^3 - 3b^2 + 5b = > 5,determine > a + b.
Veja que P(a) = 1 e P(b) = 5, para um polinômio de terceiro grau, P(x). Primeira coisa, veja que nesses casos há apenas uma raiz. (Talvez você mostre até que P(x) = c tem uma única raiz real para qualquer real c) Isso garante que o problema está bem-posto. Se fizermos P(a) + P(b), temos dois termos com (a+b), um deles vindo da fatoração de a^3 + b^3. Mas o termo quadrático não ajuda, e ainda por cima resta a parte constante. Assim, vamos eliminar o termo quadrático com uma substituição : P(y+1) = (y+1)^3 - 3(y+1)^2 + 5(y+1) = (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) - 3(y^2 + 2y + 1) + 5(y+1) = y^3 + y(3 - 6 + 5) + (1 - 3 + 5) = y^3 + 2y + 3 Sejam A = a-1 e B = b-1. 1 = P(a) = P(A+1) = A^3 + 2A + 3, e 5 = P(b) = P(B+1) = B^3 + 2B + 3, ou seja -2 = A^3 + 2A 2 = B^3 + 2B Que beleza! 0 = (A^3 + B^3) + 2(A+B) = (A+B)(A^2 - AB + B^2) + 2(A+B). Assim, ou (A+B) = 0, ou A^2 - AB + B^2 + 2 = 0. Mas essa equação do segundo grau (em A, por exemplo) tem discriminante B^2 - 4(B^2 + 2) = -3B^2 - 8 < 0, ou seja, não tem solução real. Assim temos que ter A+B = 0, ou seja, a+b = 2. Note que P(0) = 0, P(1) = 3 e P(2) = 6. Assim, a está entre 0 e 1, b entre 1 e 2, e magicamente simétricos em relação a 1, da mesma forma que 0 e 2. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
