Hum... Que seja. Vou fazer o caso da soma constante. Vamos por partes então. Primeiro, podemos supor que os elementos somam 1.
Ordene-os do menor para o maior, a_1 <= a_2 <= a_3 <= ... <= a_n. É imediato que a_1 <= 1/n <= a_n. Se uma dessas desigualdades for estrita, a outra também será. Vamos trocar o menor deles por 1/n, e o outro por (a_1+a_n-1/n). A soma obviamente não vai se alterar. Mas e o produto? De fato, o produto anterior seria (a_1a_n)*M, e o novo seria M*(1/n)*(a_1+a_n-1/n). A diferença entre eles é M*(a_1a_n-(1/n)*(a_1+a_n)-(1/n)^2)=-M*(1/n-a_1)(1/n-a_n) > 0 Assim, se trocarmos os caras desta forma, o produto entre eles diminui ou permanece (e só permanece se um deles for igual a 1/n). Logo, o produto será mínimo quando todos os fatores forem iguais à méia. Em 28 de junho de 2013 19:58, ennius <[email protected]> escreveu: > Caro Terence, > O que proponho é resolver as questões, supondo-se que a desigualdade das > médias seja desconhecida. > Ennius > ________________________________ > > > ------------------------------ > Em 28/06/2013 18:58, *terence thirteen < [email protected] >*escreveu: > MAS isto é 'equivalente' à desigualdade das médias. > > > > Em 27 de junho de 2013 20:30, ennius <*MailScanner detectou uma possível > tentativa de fraude de ".." * *MailScanner detectou uma possível > tentativa de fraude de ".." * > [email protected]<http://../../../undefined/[email protected]> > > escreveu: > >> Caros Colegas, >> >> Embora as questões abaixo já tenham sido abordadas na Lista (pelo menos >> a primeira foi), eu as trago de volta, pois gostaria de ver resoluções que >> não recorressem à desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. >> >> 1) "De todos os n números reais positivos que têm o mesmo produto, os que >> possuem a soma mínima são aqueles em que os n números são todos iguais; não >> sendo todos iguais, a soma não é mínima." >> >> 2) "De todos os n números reais positivos que têm a mesma soma, os que >> possuem o produto máximo são aqueles em que os n números são todos iguais; >> não sendo todos iguais, o produto não é máximo." >> >> Abraços do Ennius! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se est ar livre de perigo. >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html========================================================================= -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
