O erro foi supor que na situação anterior os números na sequência ficariam a,b,b,b,...,b. Poderia muito bem ser, digamos, 997/998, 1, 1995/1996, 1995/1996, ..., 1995/1996. Se você ainda quer pensar no problema, pare de ler aqui. Caso contrário, continue. O que você pode fazer para resolver o problema é fazer a média dos primeiros 998 números, obtendo 998 números iguais a 997/998 e depois fazer pares com 997/998 e 1 (fazendo a operação mais 998 vezes). Note que esse argumento funciona para qualquer número composto no lugar do 1996. E no caso em que trocamos 1996 por um primo p (um 0 e p-1 uns)? Aí não dá, porque no final o denominador tem que p (todo mundo teria que ser igual a (p-1)/p, já que a soma de todos nunca muda), e isso obrigaria a gente a, em algum momento, dividir tudo por p, o que não é possível. Mas e se a soma dos p números é múltiplo de p? Mais uma boa pergunta, não? []'s Shine ________________________________ From: EPVN <[email protected]> To: [email protected] Sent: Monday, April 22, 2013 11:57 AM Subject: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996
O enunciado é: A seqüência 0, 1, 1, 1, ... , 1 contém 1996 números, sendo o primeiro zero e todos os demais um. Se escolhem dois ou mais números da seqüência (mas não todos) e se sustitui um deles pela média aritmética dos números escolhidos, obtendo-se assim uma nova seqüência de 1996 números. Provar que, com a repetição desta operação, é possível obter uma seqüência na qual os 1996 números são iguais. NOTA: Não é necessário escolher a mesma quantidade de números em cada operação. Um colega apresentou a seguinte argumentação: Se essa operação levasse a uma seqüência com todos os números idênticos então no penúltimo estágio teríamos algo assim: a,b,b,b,..........,b , com um único número diferente que deve ser tornado igual aos demais com mais um passo. Bem, se tomarmos p números b e mais o número a, obteremos o número (a + pb)/ (p + 1 ), igualando a b teríamos a=b. Parece que isso prova que esse penúltimo estágio nunca é atingido e, portanto, o último também não. Se algum colega puder nos ajudar a esclarecer a situação ficamos muito gratos. Um abraço. Osmundo Bragança. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
