Oi, Mauricio,
Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem
não aprendeu este conteúdo:
A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
argumento:
- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples
de forma mais intuitiva.
Abraços
Nehab
On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3....
note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1.... mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...
n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=4(mod5) => n4=1(mod5)...
Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
CQD.
2013/4/18 marcone augusto araújo borges <[email protected]
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Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30
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Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de
10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?
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Abraços
oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./
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