Acho que consegui,depois que vc me deixou na cara do gol.Se M = 0,então o
produto das raizes = 0,ou seja, b^2 - k = 0 => k = b^2Como M = kb - a = 0 => a
= kb = b^3.Eu até testei b = 2,a = 8 e,substituindo esses valores em (a^2 +
b^2)/ (1 + ab),encontrei 4 = 2^2Devemos mostrar:i) (obvio);ii) M+1>0(kb - a)
+1=(ba^2 + b^3)/(1+ab) - a + 1 = (b^3 + ab + 1 - a)/(1+ab),que é positivo
pois b^3 + ab + 1 > a e o denominador é positivo.iii) M < bb - M = b - kb + a =
b - (a^2 + b^2)b/(1+ab) = [(b + ab^2 + a) - b^3]/(1+ab),que é claramente
positivo,basta ver que ab^2 >= b^3,pois a >= bEntão,como b - M > 0,temos que M
< b.Obrigado mais uma vez,Ralph.Abraço,Marcone.
Date: Mon, 27 Aug 2012 22:32:46 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Essa não é fácil
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To: [email protected]
Eh, essa eh a questao 6 da IMO 1988. Eh uma das questoes mais bonitas que eu
jah vi! Aqui vao dicas, os detalhes ficam para voce! -- Seja k um inteiro
positivo que pode ser escrito na forma k=(a^2+b^2)/(1+ab), com a e b inteiros.
De todos os pares (a,b) que geram o mesmo k, escolha o par (a,b) de forma que
0<b<=a com b o minimo possivel.
-- Eliminando denominadores: a^2-kab+(b^2-k)=0. AGORA O PULO DO GATO: pense
nisso como uma quadratica em a, e considere a outra raiz M=kb-a. Mostre que:i)
M eh inteiro (obvio);ii) M+1>0, entao M eh nao-negativo;
iii) M<b-- Isto eh quase uma contradicao, porque b era minimo dentre os
positivos! Soh tem uma explicacao: M=0.-- Use isso e corra para o abraco.
Abraco (huh, correu?),
Ralph
2012/8/27 marcone augusto araújo borges <[email protected]>
a e b são inteiros positivosab + 1 divide a^2 + b^2Mostre que (a^2 + b^2)/( 1 +
ab) é um quadrado perfeitoEssa questão está na rpm 13,fez parte de uma
competição importante,se não me engano em 1988,e poucos acertaram.
Um amigo já tentou encontrar a solução várias vezes e não conseguiu.
