Vou te revelar a cruel verdade, prepare-se. O que acontece é que, na realidade, o anel de quaternios sobre Z/p vai ser isomorfo, como anel, ao anel M_2(Z/p) (matrizes quadradas sobre Z_p). *Deve* existir uma maneira ad-hoc de encontrar esse isomorfismo. Você pode tentar (eu nunca tentei, mas se você não conseguir vou acabar tentando).
Minha sugestão é que, antes de tentar encontrar o isomorfismo, tente mostrar que o anel M_2(Z/p) é simples - isto é, não tem ideais bilaterais além de (0) e (1). Em geral o anel de matrizes n x n sobre qualquer corpo é simples, é um exercício legal também (mas não é nem um pouco trivial!). Talvez, usando uma ideia parecida com a ideia que você tiver para resolver esse da matriz, você consiga resolver o do quaternio, sem necessariamente achar o isomorfismo. Obs.: Você usou um teorema razoavelmente forte de teoria dos números, não precisava tanto, mas eu achei legal também! 2012/8/27 Samuel Wainer <[email protected]> > Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. > > Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j > + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + ( > a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso > multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for > diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² > + (a3)²) > > Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de > quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + > (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = > 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos > quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. > > Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. > Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que > sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum > teorema pesado de teoria dos números? > > ------------------------------ > Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil > From: [email protected] > To: [email protected] > > > Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está > escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple > algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion > algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, > não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica > que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). > > Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que > encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar > se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de > a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é > multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, > sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a > cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você > tem que provar isso também, não é imediato). > > 2012/8/22 Samuel Wainer <[email protected]> > > Vi essa questão e estou sofrendo bastante. > > Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. > > Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A > não é um anel de divisão. > > Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está > dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um > contra-exemplo. > > Alguém tem alguma ideia? > > > > > -- > Tiago J. Fonseca > http://legauss.blogspot.com > -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
