Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais).
Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer <[email protected]> > Vi essa questão e estou sofrendo bastante. > > Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. > > Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A > não é um anel de divisão. > > Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está > dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um > contra-exemplo. > > Alguém tem alguma ideia? > -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
