Samuel,
Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro “Topics
in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que não é
imediato.
Uma sugestão seria:
(i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0.
(Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0)
(ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e A = a^2 + a. Mostre
que 2A^2 = A.
(Nesse anel R temos, A = a^2 + a = (a^2 + a)^3 = (a^2 +
a)^2 . (a^2 + a) = etc. = 2A^2.
Passo 3 – Mostre que 2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 + a.
Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0
Passo (5) – 2 A x A = x A
Passo 6 – Conclua que A = a^2 + a está no centro do anel, Z(R), para todo a no
anel R.
Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R, a^2 + a está no centro do anel,
então R é comutativo.
Portanto, R é comutativo.
É isso.
Benedito
From: Samuel Wainer
Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM
To: [email protected]
Subject: [obm-l] Corpos x³=x
Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um
anel comutativo.
Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e
não consegui nenhuma.
Alguém tem alguma ideia?
