Valeu Bernardo , assim ficou fácil enxergar
Vou lembrar do "a ver" da próxima vez :) []'sJoão > Date: Thu, 8 Sep 2011 22:27:42 +0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil > From: [email protected] > To: [email protected] > > 2011/9/8 João Maldonado <[email protected]>: > > Deixa eu reformular a pergunta > > Uma pergunta de física no ITA consiste em calcular a energia dissipada > > por um resistor num circuito RC série (não se preocupe, vou fazer a parte > > física) > > [...Física...] > > > Primeiramente achei a expressão: > > Integral[i.dt] = (U0-i.R) A E0 /d > > Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é "se > livrar das constantes". É claro que você não pode fazer isso "de > qualquer forma", mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é > \epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de > e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...) > então o que você quer na verdade é resolver > > Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d) > > O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a > forma como você continuou) que é: > > Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T) > > > Derivando os 2 lados > > i.dt = (- RE0A/d) di > > e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é > uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração, > ela não "existe" do lado de fora da integral para podermos derivar!!) > temos realmente > > i(T) = - b di/dT (T) > > que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável > (e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço > questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas) > > > dt = (-RE0A/d) di/i > > Só para continuar o paralelo, > > dT = -b di / i(T) > > > Integrando > > t = (-R.E0.A/d).ln|i| > > é aqui que "faltou" a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como > eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável > de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de "segundos" se você > quiser) > > Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i > > Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis, > antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de > i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e > compõe os limites da integral. Continuando, temos > > s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) ) > > Ou seja > > ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0)) > > Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma > Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial > (e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando > exponenciais, > > i(s) = U0/R * exp(-s/b) > > > i = e^(-t.d/R.E0.A) > > Substituindo C = E0.A/d > > i = e^(-t/RC) > > Quando t = 0,teríamos i = 1, o que é um absurdo > > pois quando t = 0, i = U0/R > > O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :)) > > > Já que a integral sempre despreza a constante final, pensei que talvez > > houvesse algo que ainda não está na fórmulla, até porque ao > > substituirmos i na equação original, > > Integral[i.dt] = (U0-i.R) A E0 /d > > > > fica sobrando U0.C > > Talvez algo do tipo U0/R e^(-t/RC) resolvesse o problema (t = 0, i = > > U0/R), ou talvez não tem nada haver, mas em qualquer caso, como posso > > resolver essa integral? > > Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro > lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual > (universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares > formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente > linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que > "acertar qual é o múltiplo correto" que dá a solução para a condição > inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações > diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem > todas que há! > > Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só > prestar atenção em como "carregar a constante" ao longo das contas. > Lembre que quando você integra, tem que "carregar uma constante" dos > *dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios) > um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados > serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes "com sentido" > do que ter apenas uma constante de um dos lados da equação. Ainda mais > que, se for o caso de uma equação diferencial não-linear, a > dependência com as constantes é beeeem mais complicada (mas também é > bem menos provável que você consiga integrar explicitamente como a > gente fez aqui, então....) > > > []'s > > João > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
