Eu faria assim: Queremos mostrar que (x+y)/2 - sqrt(xy) > = 0 *** como x,y são reais positivos, (x+y)/2 = sqrt(((x+y)^2)/4). sqrt(xy) = sqrt(4xy/4) Verificamos facilmente que a inequação *** realmente é verdadeira.
Em 8 de março de 2010 00:25, Francisco Barreto <[email protected]>escreveu: > * > * > > Em 7 de março de 2010 23:19, Vitor Paschoal < > [email protected]> escreveu: > >> Boa noite pessoal da lista, pensei em uma forma de resolver essa >> inequação, tenho dúvidas se esta correta ou não, mas ai vai: >> >> Pela propriedade de tricotomia suponhamos que x>y e que tanto x quanto y >> são diferentes de 0, temos então - >> >> (x.y)^1/2 < (x+y)/2 >> *Por que temos isso? Não entendi. Gostaria que você me explicasse isso.* > > * Você pode continuar com sua hipótese de x > y sem perda de > generalidade, e supor (por absurdo) que temos sqrt(xy)> (x+y)/2 e chegar > a conclusão de que deve se ter 0 > x -y, o que pela hipótese não é possível. > Daí você conclui que sqrt(xy) <= (x+y)/2. * > * Mas eu acho melhor provar de maneira direta.* > > > >> Elevando ambos os lados da inequação ao quadrado temos: >> >> ((x.y)^1/2)^2 < (x+y)^2/4 >> > >> Pela monotonicidade multiplicativa podemos multiplicar ambos os lados por >> 4 sem mudar o sinal da desigualdade >> >> 4.x.y < x^2+2.x.y+y^2 >> >> Pela monotonicidade aditiva podemos somar os opostos de 4.x.y a ambos os >> lados: >> >> 0 < x^2-2.x.y+y^2 >> >> Sabendo que x^2-2.x.y+y^2 = (x-y)^2 e que 0^1/2=0 temos >> >> 0 < x - y >> >> como fora suposto anteriormente que x>y logo x-y>0, então a proposição é >> verdadeira. >> >> >> ------------------------------ >> Date: Sun, 7 Mar 2010 21:52:25 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica >> From: [email protected] >> To: [email protected] >> >> >> Para o caso n=2 não há indução. >> >> Em 7 de março de 2010 14:40, <[email protected]> escreveu: >> >> Tente usar indução finita para resolver a desigualdade >> ------Mensagem original------ >> De: Emanuel Valente >> Remetente: [email protected] >> Para: [email protected] >> Responder a: [email protected] >> Assunto: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica >> Enviada: 6 Mar, 2010 16:01 >> >> Pessoal, eu tinha feito esse exercício no cursinho, mas não lembro por >> onde saí. Alguma luz? >> >> Sejam x,y numeros reais positivos. Prove que: >> >> sqrt(x.y) < (x+y)/2 >> >> -- >> Emanuel >> >> ========================================================================= >> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> E-mail verificado pelo Terra Anti-Spam. >> Para classificar esta mensagem como spam ou não spam, visite >> >> http://ecp.terra.com.br/cgi-bin/reportspam.cgi?+_d=SCYxODMxNjQ5MCNwZXJtIXRlcnJhJjEsMTI2NzkwMzAxMC4yMDI5NS40NzkwLnF1ZXNuZWwudGVycmEuY29tLDMzNTI=TerraMail >> Verifique periodicamente a pasta Spam para garantir que apenas mensagens >> indesejadas sejam classificadas como Spam. >> >> >> Enviado pelo meu aparelho BlackBerry da Claro >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> >> >> ------------------------------ >> Coloque sua foto num tema anos 60, 70 e 80. Conheça o novo site de I Love >> Messenger.<http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline> >> > >
