* * Em 7 de março de 2010 23:19, Vitor Paschoal <[email protected] > escreveu:
> Boa noite pessoal da lista, pensei em uma forma de resolver essa > inequação, tenho dúvidas se esta correta ou não, mas ai vai: > > Pela propriedade de tricotomia suponhamos que x>y e que tanto x quanto y > são diferentes de 0, temos então - > > (x.y)^1/2 < (x+y)/2 > *Por que temos isso? Não entendi. Gostaria que você me explicasse isso.* * Você pode continuar com sua hipótese de x > y sem perda de generalidade, e supor (por absurdo) que temos sqrt(xy)> (x+y)/2 e chegar a conclusão de que deve se ter 0 > x -y, o que pela hipótese não é possível. Daí você conclui que sqrt(xy) <= (x+y)/2. * * Mas eu acho melhor provar de maneira direta.* > Elevando ambos os lados da inequação ao quadrado temos: > > ((x.y)^1/2)^2 < (x+y)^2/4 > > Pela monotonicidade multiplicativa podemos multiplicar ambos os lados por > 4 sem mudar o sinal da desigualdade > > 4.x.y < x^2+2.x.y+y^2 > > Pela monotonicidade aditiva podemos somar os opostos de 4.x.y a ambos os > lados: > > 0 < x^2-2.x.y+y^2 > > Sabendo que x^2-2.x.y+y^2 = (x-y)^2 e que 0^1/2=0 temos > > 0 < x - y > > como fora suposto anteriormente que x>y logo x-y>0, então a proposição é > verdadeira. > > > ------------------------------ > Date: Sun, 7 Mar 2010 21:52:25 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica > From: [email protected] > To: [email protected] > > > Para o caso n=2 não há indução. > > Em 7 de março de 2010 14:40, <[email protected]> escreveu: > > Tente usar indução finita para resolver a desigualdade > ------Mensagem original------ > De: Emanuel Valente > Remetente: [email protected] > Para: [email protected] > Responder a: [email protected] > Assunto: [obm-l] Média Aritmética e Geométrica > Enviada: 6 Mar, 2010 16:01 > > Pessoal, eu tinha feito esse exercício no cursinho, mas não lembro por > onde saí. Alguma luz? > > Sejam x,y numeros reais positivos. Prove que: > > sqrt(x.y) < (x+y)/2 > > -- > Emanuel > > ========================================================================= > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > E-mail verificado pelo Terra Anti-Spam. > Para classificar esta mensagem como spam ou não spam, visite > > http://ecp.terra.com.br/cgi-bin/reportspam.cgi?+_d=SCYxODMxNjQ5MCNwZXJtIXRlcnJhJjEsMTI2NzkwMzAxMC4yMDI5NS40NzkwLnF1ZXNuZWwudGVycmEuY29tLDMzNTI=TerraMail > Verifique periodicamente a pasta Spam para garantir que apenas mensagens > indesejadas sejam classificadas como Spam. > > > Enviado pelo meu aparelho BlackBerry da Claro > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ------------------------------ > Coloque sua foto num tema anos 60, 70 e 80. Conheça o novo site de I Love > Messenger.<http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline> >
