Olá colegas!
Luiz, tirou as palavras a minha boca.
Só complementando: há duas possibilidades para n = 2.3.5. ... . pk + 1: Ou
ele é primo ou composto.
Bem, se for primo não há o que fazer.
Se for composto, nenhum dos primos 2, 3, 5, ..., pk divide n, já que o
resto da divisão de n por cada primo é 1. Portanto, TEM que existir outro primo
fora dessa lista fechada. Absurdo. O conjunto dos primos não é finito.
E quanto às demonstrações de Euclides, algumas não satisfazem os níveis
atuais de rigor. Há certos teoremas de geometria dos Elementos que não são
conclusão lógica dos cinco famosos axiomas. Daí vários grandes matemáticos
lançarem as suas versões axiomáticas da Geometria Euclidiana.
Mas a demonstração da infinitude dos números primos de Euclides é
irretocável. E pensar que séculos antes de Cristo já era um resultado
conhecido...
José CORINO
----- Original Message -----
From: luiz silva
To: [email protected]
Sent: Thursday, July 02, 2009 6:09 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Ola Pessoal,
Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um
primo menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos
daquele conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que
divida este número
Vamos supor que o conjunto de primos é finito
{2,3,5,....p1,p2,........pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que
n = 2.3.5.....p1.p2. .... .pk + 1
Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um
outro número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2. .... .pk + 1.
--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes
<[email protected]> escreveu:
De: Hugo Fernando Marques Fernandes <[email protected]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Para: [email protected]
Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25
Henrique.
Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de
Euclides, para que possamos discuti-la de forma mais consistente?
Abraços.
Hugo.
2009/7/2 Henrique Rennó <[email protected]>
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>
Oi Henrique e obm-l,
2009/7/2 Henrique Rennó <[email protected]>:
> No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides
existem infinitos
> primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um
primo maior que
> todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior,
gerando uma
> inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou
seja, são
> infinitos.
Isso se chama "prova por (redução ao) absurdo", e consiste numa
das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as
demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua
sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma
das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem
o que
você vai dizer.
No livro "Os Problemas do Milênio" do autor Keith Devlin (que o
Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a
demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira.
Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de
entender.
Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por
contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o
novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que
pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens
de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.
> Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
> uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a "hipótese de absurdo". E é justamente
por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma "terceira possibilidade", mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em
matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)
> Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
> primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi
demonstrado por
> Euler e converge para infinito.
Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se
fossem
finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
harmônica divergiria, o que não é o caso !
Abraços lógicos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
Henrique
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