Ola Pessoal,
Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um primo
menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos daquele
conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que divida
este número
Vamos supor que o conjunto de primos é finito {2,3,5,....p1,p2,........pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que
n = 2.3.5.....p1.p2. .... .pk + 1
Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um outro
número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2. .... .pk + 1.
--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes <[email protected]>
escreveu:
De: Hugo Fernando Marques Fernandes <[email protected]>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da
Ordinalidade dos Números Primos
Para: [email protected]
Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25
Henrique.
Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de Euclides,
para que possamos discuti-la de forma mais consistente?
Abraços.
Hugo.
2009/7/2 Henrique Rennó <[email protected]>
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>
Oi Henrique e obm-l,
2009/7/2 Henrique Rennó <[email protected]>:
> No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
> primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que
> todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
> inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
> infinitos.
Isso se chama "prova por (redução ao) absurdo", e consiste numa das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que
você vai dizer.
No livro "Os Problemas do Milênio" do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar
colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que
Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a
demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender.
Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição),
mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo
gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo
mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de
primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.
> Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
> uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a "hipótese de absurdo". E é justamente por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma "terceira possibilidade", mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)
> Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
> primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
> Euler e converge para infinito.
Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem
finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
harmônica divergiria, o que não é o caso !
Abraços lógicos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
Henrique
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