Oi Ralph, Eu só comecei a acompanhar a discussão agora, mas o que acontece quando fazemos um lado TENDER a zero? Não tender a dar 1? Aí eu acho que o argumento do Ponce mostra que o menor k é 1, não?
Enfim, eu pensei muito rápido e posso estar enganado (agora mesmo estou meio apressado...). []'s Shine --- On Sat, 5/9/09, Ralph Teixeira <[email protected]> wrote: > From: Ralph Teixeira <[email protected]> > Subject: Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)] > To: [email protected] > Date: Saturday, May 9, 2009, 11:49 AM > Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e > decadas matematicas, > ressuscitou a questao de "qual eh a melhor > desigualdade do tipo > ma+mb+mc<=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?", > que estava em > http://www.mail-archive.com/[email protected]/msg43875.html > e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO > era a melhor > cota. > > (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)<=ma+mb+mc, e tem > um argumento lah que > diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) > > Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k > para garantir > que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o > argumento de que > num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 > nao me convence -- > afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 > vale para qualquer > k. > > Abraco, > Ralph > > 2009/5/9 Rogerio Ponce <[email protected]> > > > Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da > lista, > > estou gostando dessas histórias ! > > > > ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me > incluir na lista dos > > "quase coroas", visto que ele já conhecia o > Bourbaki de trás pra > > frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto > que eu conhecia > > era o dos Beatles... > > > > Xiii.... me entreguei.... > > > > Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o > problema do Santa Rita, ou > > seja, > > vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu > perimetro seja > > igual a soma das suas medianas. > > > > Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto > medio do lado BC. > > Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em > A. > > > > Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o > dobro da mediana AD. > > > > Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois > vetores quaisquer > > vale, no maximo, a soma dos dois modulos. > > > > Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma > dos > > comprimentos AB e AC, ou seja, > > 2*AD <= AB + AC > > > > Repita essa desigualdade para as outras medianas, e > some tudo. > > Fica facil concluir que: > > A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO > PERIMETRO DO TRIANGULO. > > > > Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos > entre os vetores > > forem zero, o que significa que o triangulo tem que > ser degenerado. > > E, de fato, isso acontece quando um dos lados do > triangulo tem comprimento > > zero. > > > > []'s > > Rogerio Ponce > > > > > > > > > > 2009/5/6 Carlos Nehab <[email protected]>: > > > Caramba, > > > > > > Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. > Não sei porque... :-) . > > > > > > Você já mencionaram dois maiores monstros do > passado em Geometrias > > > (imaginem... o quanto passado...o meu passado! > hahaha). > > > O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto > de Almeida (que depois foi > > > dono da construtora que levava seu nome). > > > O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de > corpo e alma (falava grego > > > fluentemente, era um poço infinito de > conhecimento, inclusive sobre > > história > > > da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje > em dia (para os alunos fica > > a > > > horrível sensação que tudo em matemática > sempre foi do mesmo jeito > > > sempre....como se matemática fose uma descoberta > dos deuses e não dso > > > homens...). > > > > > > Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio > em Geometria Descritiva e > > > Perspectiva(s). > > > Do segundo élio) fui aluno de Desenho > Geométrico (ai incluidas as > > Cônicas): > > > um monstro e um extraordinário professor. > > > > > > Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e > introspectivo, que foi > > > professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - > Luiz Oswaldo - e tive > > > oportunidade de ser aluno dele em ambas as > escolas. No IME, de > > Geometria, e > > > na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi > através dele que conheci > > e > > > me extasiei com o livro do Niven - Irrational > Numbers, já mencionado > > algumas > > > vezes por aqui). > > > > > > Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das > questões de Geometria dos > > > concursos de admissão ao IME na década de 65 > a75, inclusive as questões > > de > > > Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de > trabalhar com ele (eu > > já > > > dava aula lá) e participar de forma intensa no > massacre da prova de > > Álgebra > > > daquele ano. ;-) > > > > > > Para quem não se lembra eu e o Ponce (um > "quase coroa da lista") já > > > escrevemos por aqui "causos" > engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive > > sua > > > ridícula e única gravata de seu sovina > vestuário. > > > > > > Mas eu tenho os livros do Virgílio de > Descritiva, os do Célio, de Cônicas > > e > > > de outras "cositas" deles. > > > > > > Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita > (perímetro e medianas) eu tb > > não > > > o havia visto ainda e de fato, como o Luis > mencionou, não seria um > > problema > > > digamos clássico, pois não é muito comum, na > bibliografia, a > > sistematização > > > de problemas contendo somas, diferenças etc. > (vide uma das bíblias em > > > Wernick, W. "Triangle Constructions with > Three Located Points." Math. > > Mag. > > > 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que > vão completando a lista > > do > > > Wernick. Eu tenho estes textos que me foram > enviados por meu filho. > > > > > > Vou tentar resolver o citado problema, mas não > juro que seja > > indeterminado, > > > pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do > perímetro de um > > > triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada > como sexto sentido de > > > matemágico antigo, né... > > > > > > Abraços, > > > Nehab > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
