Oi, Jorge (e Bouskela),
Acho que você, Jorge, deu um enunciado incompleto prá galera. Acho que
você quis dizer
1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + ... + 1/16 + ... >
1 + (1/2 + 1/2) +(1/4 +1/4 +1/4 +1/4 ) + (1/8 +...+1/8) + (1/16+...) +...
pois este é o caminho para mostrar que a série "hamônica" vai pro beleléu...
Nehab
Albert Bouskela escreveu:
Olá!
Apesar da minha "cegueira fracionária", coloquei meus pesados óculos e
me ocupei da última desigualdade:
1+1/2+1/3+1/4+... > 1+1/2+1/2+1/2+...
Com a qual discordo -- veja o porquê:
O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º
termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma
constante positiva infinitas vezes.
Então, procurei calcular o seguinte limite:
Limite [n-->+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite
[n-->+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] =
= 2 . Limite [n-->+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0
Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente:
(soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ...
0.5325396825 para n=10 ;
0.1027203469 para n=100 ;
0.0149559857 para n=1000 ;
0.0000287854 para n=1000000 ...
Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+...
Sds.,
/AB/
[email protected]
*From:* [email protected] [mailto:[email protected]]
*On Behalf Of *Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis
*Sent:* Friday, May 01, 2009 10:37 PM
*To:* [email protected]
*Subject:* [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada
com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho,
pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade
0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é
maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa.
Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um
candidato olímpico saberia provar a desiguldade
1/2*3/4*5/6...999999/1000000 < 1/1000? Outro pesadelo fracionário é
pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo
que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que
estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração
imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as
frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se
encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!)
A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três
copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um
quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles
abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os
copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de
uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de
cada copo conteria suco?
A propósito! Para obtermos 0,99999999 no visor da calculadora devemos
efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama)
Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...>1+1/2+1/2+1/2+...?
Abraços!
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