Olá Professor Paulo, bom dia. Muito obrigado por sua preciosa explicação, entendi..bem a utilização da quádrupla para se obter as soluções não negativas, onde a ordem não é relevante (este foi o meu erro).
Muito Obrigado, abração, Marcelo. Queria lhe perguntar uma outra dúvida. Se as caixas fossem numeradas de 1 a 10 ou em outras palavras, importa 2009/4/6 Paulo Santa Rita <[email protected]> > Ola Marcelo e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > ( escreverei sem acentos ) > > Sejam : > > A -> caixas na cor azul > B -> caixas na cor amarelo > C -> caixas na cor verde > D -> caixas na cor vermelho. > > Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros > nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as > caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas > foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma > caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. > > O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, > portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com > as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas > ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! > > Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de > A+B+C+D=10 nas quais A > 0 ( "A" e positivo ), vale dizer, todas as > solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas > nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. > > Existe um algoritmo direto, mesmo uma "formula", para o total de > solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma > X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : > > Binom(N+M-1,M) > > No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 > > Um Abraco a Todos ! > Paulo Santa Rita > 20604092020 > > > > > > > 2009/4/6 Marcelo Gomes <[email protected]>: > > Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem > > diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma > > mão, ok ? > > > > Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar > cada > > uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, > verde > > e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo > > menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? > > > > Minha resolução: > > > > Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as > caixas. > > Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 > cores, > > e na segunda 4 e na terceira 4 e.....assim até a décima caixa. Então o > > número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha > conta > > seria 4^10. > > > > Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul > não > > aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, > na > > segunda 3 cores, na terceira 3 cores....e na décima 3 cores. Então pela > > minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. > > > > Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: > > > > 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras.... > > > > Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muitooooo! O gabarito deu 220 > modos. > > > > Não entendi nada! > > > > Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que > fiz. > > > > Abração a todos. > > > > Marcelo. > > > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= >
