Acho que tem uma demonstracao desse problema no livro do Barret O'Neill.
Deixa eu ver se lembro. Quando voce diz det(dNp) > 0 isso tambem quer dizer
que sua superficie tem curvatura positiva (Lembre que a curvatura gaussiana
e definida como o produto dos autovalores da aplicacao normal de Gauss).
Entao, vamos provar a afirmativa de que para toda a superficie M em R^3
compacta ha um ponto onde a curvatura gaussiana K e estritatamente positiva.
Seja M a superficie compacta em R^3 compacta, e considere f:M->R a funcao
f(p)=||p||^2. Em termos de coordenadas, f(p)=sum(x_{i}^2). Agora, f e
diferencial e portanto continua e M e compacta. Entao, f atinge seu ponto de
maximo em algum ponto m de M. Observe que f mede a distancia da origem,
entao m e simplesmente o ponto de maxima distancia da origem r=||m|| > 0.
Isso quer dizer que M e tangente em p a esfera S de radio r e M esta dentro
da esfera S. (Agora, deixo o resto com voce).
Regards,
Leandro
Los Angeles, CA.
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Subject: [obm-l] Geometria de Superfícies em R^3
Date: Tue, 4 Nov 2008 18:16:11 -0200
Olá,
Gostaria de uma solução para o seguinte problema:
Toda superfície regular (de dimensão 2), compacta, em R^3 possui
um ponto elíptico, isto é, um ponto p tal que det( dN_p ) > 0, onde
dN_p é a derivada da aplicação normal de Gauss em p.
Este é o problema 16, seção 3-3 do livro do Manfredo, Differential
Geometry of Curves and Surfaces.
- Leandro.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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